自由电子对电磁波的散射：

x⃗¨−e26πε0c3mx⃗...=emE⃗0e−iωt\ddot{\vec{x}}-\frac{e^2}{6\pi\varepsilon_0c^3m}\dddot{\vec{x}} = \frac{e}{m}\vec{E}_0e^{-\text{i}\omega t}

把猜测解 x⃗=x⃗0e−iωt\vec{x}=\vec{x}_0e^{-\text{i}\omega t} 代入上式，解得：

x⃗0=eE⃗0m(−ω2−ie2ω36πε0c3m)=eE⃗0m(−ω2−iωα)\vec{x}_0 = \frac{e\vec{E}_0}{\displaystyle{m\left(-\omega^2-\frac{\text{i}e^2\omega^3}{6\pi\varepsilon_0c^3m}\right)}} = \frac{e\vec{E}_0}{m(-\omega^2-\text{i}\omega\alpha)}

这里的 α\alpha 可以化为

α=2πλ⋅e2ω6πε0c2m=4πω3λ⋅e24πε0c2m=4πω3λ⋅re\alpha = \frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{e^2\omega}{6\pi\varepsilon_0c^2m} =\frac{4\pi\omega}{3\lambda}\cdot\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0c^2m} = \frac{4\pi\omega}{3\lambda}\cdot r_e

对于一般的电磁波而言，入射的波长肯定远远大于电子的经典半径，因此可以忽略阻尼项，电子运动是

x⃗=−eE⃗0mω2e−iωt\vec{x} = -\frac{e\vec{E}_0}{m\omega^2}e^{-\text{i}\omega t}

根据加速度的辐射公式，散射波的辐射

E⃗=e4πε0c2r⋅n^×(n^×x⃗¨)\vec{E} = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\cdot\hat{n}\times(\hat{n}\times\ddot{\vec{x}})

定义夹角 β=⟨n^,E⃗0⟩\beta = \langle\hat{n},\vec{E}_0\rangle，那么具体的辐射电场强度为 (平均)：

E⃗=ex¨4πε0c2rsin⁡β=e2E04πε0mc2rsin⁡β\vec{E} = \frac{e\ddot{x}}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\sin\beta = \frac{e^2E_0}{4\pi\varepsilon_0mc^2r}\sin\beta

平均辐射能流为

sˉ=e4E0232π2ε0c3m2r2sin⁡2β=ε0cE0re22r2sin⁡2β\bar{s} =\frac{e^4E_0^2}{32\pi^2\varepsilon_0c^3m^2r^2}\sin^2\beta = \frac{\varepsilon_0cE_0r_e^2}{2r^2}\sin^2\beta

可以通过对立体角积分算出散射功率和散射截面. 微分散射截面为

dσdΩ=re22(1+cos⁡2θ)\frac{\text{d}\sigma}{\text{d}\Omega} = \frac{r_e^2}{2}(1+\cos^2\theta)

对于束缚态电子，多了阻尼项和固有频率项

x⃗¨+αx⃗˙+ω02x⃗=emE⃗e−iωt\ddot{\vec{x}}+\alpha\dot{\vec{x}}+\omega_0^2\vec{x}=\frac{e}{m}\vec{E}e^{-\text{i}\omega t}

解得

x⃗=emE⃗e−i(ωt−δ)(ω02−ω2)2+ω2α2,tan⁡δ=ωαω02−ω2\vec{x} = \frac{e}{m}\frac{\vec{E}e^{-\text{i}(\omega t-\delta)}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega^2\alpha^2}},\quad \tan\delta = \frac{\omega\alpha}{\omega_0^2-\omega^2}

这里的平均能流、总功率和散射截面：

sˉ=e4E0232π2ε0c3m2r2ω4(ω02−ω2)2+ω2α2sin⁡2βP=∮sˉr2dΩ=8π3re2⋅ω4(ω02−ω2)2+ω2α2I0σ=PI0=8π3re2⋅ω4(ω02−ω2)2+ω2α2\begin{aligned} &\bar{s} = \frac{e^4E_0^2}{32\pi^2\varepsilon_0c^3m^2r^2}\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega^2\alpha^2}\sin^2\beta\\\\ &P =\oint\bar{s}r^2\text{d}\Omega = \frac{8\pi}{3}r_e^2\cdot\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega^2\alpha^2}I_0\\\\ &\sigma = \frac{P}{I_0} = \frac{8\pi}{3}r_e^2\cdot\frac{\omega^4}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\omega^2\alpha^2} \end{aligned}

当 ω≪ω0\omega\ll\omega_0，为 Rayleigh 散射；ω∼ω0\omega\sim\omega_0 共振；ω≫ω0\omega\gg\omega_0 过渡到自由电子的散射.

• 1e5e2-feat(note): add notes于 2025/12/30