沿用之前的符号命名，但是我们这节课要开始做近似. 考虑 r2/d≪1r_2/d\ll 1，同时利用下面的单位制：

d=1,m1+m2=1,ω=1,G=1d=1,\quad m_1+m_2=1,\quad \omega=1,\quad G=1

这样，有效势能变为

ϕeff=−m1r1−m2r2−12r2\phi_{\text{eff}} = -\frac{m_1}{r_1}-\frac{m_2}{r_2}-\frac{1}{2}r^2

用余弦定理得到

r12=1+r22+2r2cos⁡θ,r2=m12+r22+2m1r2cos⁡θr_1^2=1+r_2^2+2r_2\cos\theta,\quad r^2=m_1^2+r_2^2+2m_1r_2\cos\theta

取倒数，得到

1r1=11+x≈1−r2cos⁡θ+3cos⁡2θ3r22\frac{1}{r_1}=\frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-r_2\cos\theta+\frac{3\cos^2\theta}{3}r_2^2

代入有效势能，

ϕeff=−m1+m1cos⁡θ⋅r2−3cos⁡2θ−12m1r22−12m12−m1cos⁡θ⋅r2−12r22−m2r2\phi_{\text{eff}} = -m_1+m_1\cos\theta\cdot r_2-\frac{3\cos^2\theta-1}{2}m_1r_2^2-\frac{1}{2}m_1^2-m_1\cos\theta\cdot r_2-\frac{1}{2}r_2^2-\frac{m_2}{r_2}

把常数项撇掉，

ϕeff=−m2r2−3cos⁡2θ−12m1r22−12r22\phi_{\text{eff}} = -\frac{m_2}{r_2}-\frac{3\cos^2\theta-1}{2}m_1r_2^2-\frac{1}{2}r_2^2

第二个近似是考虑 m2≪m1≃1m_2\ll m_1\simeq 1. 这时候，

ϕeff,x=0⟹x=(m23)1/3\phi_{\text{eff},x}=0\Longrightarrow x=\left(\frac{m_2}{3}\right)^{1/3}

恢复量纲之后是 (m2/3m1)1/3d(m_2/3m_1)^{1/3}d，这被称为 Hill radius. 对于日地系统，Hill 半径大约是 0.010.01 AU，这被当作判断是归属于谁的引力范围的判据，也就是在地球附近 0.010.01 AU 的天体被视为处于地球引力范围之内，反之则属于太阳的引力范围.

如果地球太靠近太阳，那么很有可能出现 RHill<RER_{\text{Hill}}<R_E 的情况，也就是 Hill 半径比地球半径还要小，这时候地球上的所有东西都会脱离地球的掌控，这给出的日地距离限制被称为 Roche limit. 计算可知：

R2=RHill⟹d=(3ρ1ρ2)1/3R1R_2 = R_{\text{Hill}}\Longrightarrow d=\left(\frac{3\rho_1}{\rho_2}\right)^{1/3}R_1

更精确的计算表明系数是 2.42.4 左右.

回到原先的势能，计算一阶展开可以得到受力，

F⃗=−∇ϕeff=(2x−y)Gm1d3\vec{F} = -\nabla\phi_{\text{eff}} = \begin{pmatrix} 2x\\-y \end{pmatrix}\frac{Gm_1}{d^3}

这是针对微扰而言的一阶力，这个力会产生潮汐，可以计算出 xx 方向的潮汐高度，

htides∼∣ϕ∣g∼R22⋅Gm1/d3Gm2/R22∼m1m2R24d3h_{\text{tides}}\sim\frac{|\phi|}{g}\sim\frac{R_2^2\cdot Gm_1/d^3}{Gm_2/R_2^2}\sim\frac{m_1}{m_2}\frac{R_2^4}{d^3}

可以简单算一下潮汐升起来带来的那一坨质量是多少：

mbalge∼ρR22htides∼m2(R2d)3m_{\text{balge}}\sim \rho R_2^2h_{\text{tides}}\sim m_2\left(\frac{R_2}{d}\right)^3

这造成了一个摩擦效应，也就是所谓的潮汐摩擦. 这件事情在地月系统中会拖慢地球的自转速度，同时月球会获得角动量、升到更高轨道，也就是说在遥远的未来一个月会更短、一天会更长.

其实应该是有某种可能，某个星系中的类似系统在达到潮汐锁定之前，卫星轨道就已经高于 Hill radius，脱离行星的掌控了... 不过地月系统显然没有这个问题.

潮汐力造成的椭球的半长轴与地月连线之间的夹角 (锐角) ε\varepsilon 称为 lag angle. 这产生一个四极势，

ϕquad∼KLGmsR(Rd)3(Rr)33cos⁡2θ−12\phi_{\text{quad}}\sim K_L\frac{Gm_s}{R}\left(\frac{R}{d}\right)^3\left(\frac{R}{r}\right)^3\frac{3\cos^2\theta-1}{2}

我们称 KLK_L 为 love number，虽然我并不知道为什么. 力矩：

ΓT=−∂ϕquad∂θ∣r=dθ=−εmsd=KLGms2R(Rd)6⋅3cos⁡εsin⁡ε=3KL2Gms2R(Rd)61Q\Gamma_T = -\left.\frac{\partial\phi_{\text{quad}}}{\partial\theta}\right|_{r=d\\\theta=-\varepsilon}m_sd = K_L\frac{Gm_s^2}{R}\left(\frac{R}{d}\right)^6\cdot 3\cos\varepsilon\sin\varepsilon=\frac{3K_L}{2}\frac{Gm_s^2}{R}\left(\frac{R}{d}\right)^6\frac{1}{Q}

这里的 Q≡1/sin⁡2εQ \equiv 1/\sin2\varepsilon. 角动量变化

dLsdt=−ΓT⟹CImpR2Ω˙p=−ΓT\frac{\mathrm{d}L_s}{\mathrm{d}t} = -\Gamma_T\Longrightarrow C_Im_pR^2\dot{\Omega}_p = -\Gamma_T

可以解得 tdo-spin=Ωp/Ω˙p=⋯t_{\text{do-spin}}=\Omega_p/\dot{\Omega}_p=\cdots.

当然也可以算能量的衰减，

dEdt=ΓT(ns−Ωp)<0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\Gamma_T(n_s-\Omega_p)<0

• d4531-feat(notes): update于 2026/5/28