我们上节课说了引力波的探测. 在 Michaelson 干涉仪中，两个方向分别是

E1=−12E0e−iωLt+2ikLLxE2=12E0e−iωLt+2ikLLy\begin{aligned} &E_1 = -\frac{1}{2}E_0e^{-\text{i}\omega_Lt+2\text{i}k_LL_x}\\\\ &E_2 = \frac{1}{2}E_0e^{-\text{i}\omega_Lt+2\text{i}k_LL_y} \end{aligned}

其中前面的负号来源于某面镜子上反射的半波损失. 接收端收到的场强分布是

E1+E2=12E0e−iωLt(e2ikLLy−e2ikLLx)E_1+E_2 = \frac{1}{2}E_0e^{-\text{i}\omega_Lt}(e^{2\text{i}k_LL_y}-e^{2\text{i}k_LL_x})

光强 ∣E∣2=E02sin⁡2kL(Ly−Lx)|E|^2 = E_0^2\sin^2k_L(L_y-L_x). 这是没有广义相对论效应的情况. 如果考虑广义相对论效应，那么

ds2=−dt2+(1+h+(t,x⃗))dx2+(1−h+(t,x⃗))dy2+dz2\text{d}s^2 =-\text{d}t^2+(1+h_+(t,\vec{x}))\text{d}x^2+(1-h_+(t,\vec{x}))\text{d}y^2+\text{d}z^2

在 x^\hat{x} 方向，dx=±dt(1−h+(t,x⃗))1/2\text{d}x=\pm\text{d}t(1-h_+(t,\vec{x}))^{1/2}. 同时我们估算一下，LIGO 探测的引力波频率是 100 Hz100\text{ Hz} 级别，也就是说波长是地球半径的量级，λ≫L\lambda\gg L (干涉仪的尺度)，可以忽略度规对空间的依赖. 也就是，

dx≈±dt[1−12h+(t)]\text{d}x \approx \pm\text{d}t\left[1-\frac{1}{2}h_+(t)\right]

因此在 x^\hat{x} 光走过的两段分别有

Lx=t1−t2−12∫t0t1h+(t′)dt′−Lx=t2−t1+12∫t1t2h+(t′)dt′\begin{aligned} L_x &= t_1-t_2 - \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_1}h_+(t')\text{d}t'\\\\ -L_x &= t_2-t_1+ \frac{1}{2}\int_{t_1}^{t_2}h_+(t')\text{d}t' \end{aligned}

上下两式相减，

t2−t0=2Lx+h0Lxsin⁡ωGWLxωGWLxcos⁡[ωGW(t0+Lx)]t_2-t_0 = 2L_x+h_0L_x\frac{\sin\omega_{GW}L_x}{\omega_{GW}L_x}\cos[\omega_{GW}(t_0+L_x)]

其中，h+=h0cos⁡(ωGWt)h_+ = h_0\cos(\omega_{GW}t). 同理，

t2−t0=2Ly−h0Lysin⁡ωGWLyωGWLycos⁡[ωGW(t0+Ly)]t_2-t_0 = 2L_y-h_0L_y\frac{\sin\omega_{GW}L_y}{\omega_{GW}L_y}\cos[\omega_{GW}(t_0+L_y)]

让它们的 t2t_2 相等，分析其相位差，就可以得到引力波的频率.

引力波说完了，之后我们讲 Hawking radiation. 如果要发生这种 radiation，必须满足两个条件：

• 这必须是一个量子的理论；
• 体系有全局 Killing vector 时，我们可以解定态 Schrödinger 方程；但是这里进入视界之后，类时变为类空，度规显含时间 —— 因此第二个条件是我们的 Hamiltonian 需要显含时间，H=H(t)H=H(t).

Hamiltonian H(p,q)H(p,q)，其中 [p,q]=−i[p,q]=-\text{i}.

H=12p2m+12kq2H = \frac{1}{2}\frac{p^2}{m}+\frac{1}{2}kq^2

我们知道动量和位置算符在粒子数表象下是 q=A(a+a†)q=A(a+a^\dagger)、p=iB(a−a†)p=\text{i}B(a-a^\dagger). 同时，[a,a†]=i[a,a^\dagger]=\text{i}. 代入后得到 B=−1/(2A)B=-1/(2A)，又因为 HH 和 a†aa^\dagger a 相关，因此得到 B/A=−(m/k)1/2B/A = -(m/k)^{1/2}. 于是

H=ω(a†a+12),ω=km.H = \omega\left(a^\dagger a+\frac{1}{2}\right),\quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.

此时能够构造本征态，

a∣0⟩=0,(∂∂q+mωq)ψ0(q)=0⟹ψ0(q)∼e−mωq2a|0\rangle=0,\quad \left(\frac{\partial}{\partial q}+m\omega q\right)\psi_0(q)=0 \Longrightarrow\psi_0(q)\sim e^{-m\omega q^2}

From Schrödinger to Heisenberg：假设 Hamiltonian 和时间没关系，那么能够直接写出 ψ(t)\psi(t). 换成 Heisenberg 表象就是

ddtO(t)=i[H(t),O(t)]\frac{\text{d}}{\text{d}t}\mathcal{O}(t) =\text{i}[H(t),\mathcal{O}(t)]

以谐振子为例，这里 H=p2/2+ω2q2/2H=p^2/2+\omega^2q^2/2，求出升降算符随时间的演化

a˙(t)=i[H,a]=−iωa,a˙†=iωa†⟹a=e−iωta(0),a†=eiωta†(0)\begin{aligned} &\dot{a}(t) = \text{i}[H,a] = -\text{i}\omega a,\quad \dot{a}^\dagger = \text{i}\omega a^\dagger\\\\ \Longrightarrow\quad & a = e^{-\text{i}\omega t}a(0),\quad a^\dagger = e^{\text{i}\omega t}a^\dagger(0) \end{aligned}

如果在谐振子 Langrangian 中加入一项，

L(t,q,q˙)=12q˙2−12ω2q2+J(t)q,p=δLδq˙−q˙L(t,q,\dot{q}) = \frac{1}{2}\dot{q}^2-\frac{1}{2}\omega^2q^2+J(t)q,\quad p=\frac{\delta L}{\delta\dot{q}}-\dot{q}

有：

H=pq˙−L=12p2−12ω2q2−J(t)qq˙=i[H,q]=pp˙=i[H,p]=−ω2q+J(t)\begin{aligned} &H = p\dot{q}-L = \frac{1}{2}p^2-\frac{1}{2}\omega^2q^2-J(t)q\\\\ &\dot{q} = \text{i}[H,q] = p\\\\ &\dot{p} = \text{i}[H,p] = -\omega^2q+J(t) \end{aligned}

在有驱动力的情况下，写出升降算符的变化，

a˙(t)=−iωa(t)+i2ωJ(t)a˙†(t)=iωa†(t)−i2ωJ(t)\begin{aligned} &\dot{a}(t) = -\text{i}\omega a(t) + \frac{\text{i}}{\sqrt{2\omega}}J(t)\\\\ &\dot{a}^\dagger(t) = \text{i}\omega a^\dagger(t)-\frac{\text{i}}{\sqrt{2\omega}}J(t) \end{aligned}

解得，

a(t)=[a(0)+i2ω∫0teiωt′J(t′)dt′]e−iωta†(t)=[a†(0)−i2ω∫0te−iωt′J(t′)dt′]eiωt\begin{aligned} &a(t) = \left[a(0) + \frac{\text{i}}{\sqrt{2\omega}}\int_0^te^{\text{i}\omega t'}J(t')\text{d}t'\right]e^{-\text{i}\omega t}\\\\ &a^\dagger(t) = \left[a^\dagger(0) - \frac{\text{i}}{\sqrt{2\omega}}\int_0^te^{-\text{i}\omega t'}J(t')\text{d}t'\right]e^{\text{i}\omega t} \end{aligned}

Heisenberg 表象说，态是不变的，定义 in 和 out 的两个本征态，

ain=a(0),ain†=a†(0),aout=a(T)e−iωT,aout†=a†(T)eiωTa_\text{in}=a(0),\quad a^\dagger_{\text{in}}=a^\dagger(0),\quad a_{\text{out}} = a(T)e^{-\text{i}\omega T},\quad a^\dagger_{\text{out}}=a^\dagger(T)e^{\text{i}\omega T}

同时把上面的积分定义为 J0J_0. 于是，

aout=a(T)e−iωT=(ain+J0),aout∣0⟩in=J0∣0⟩in,∣n⟩in=1n!(aout†)n∣0⟩outa_{\text{out}} = a(T)e^{-\text{i}\omega T} = (a_{\text{in}}+J_0),\quad a_{\text{out}}|0\rangle_{\text{in}} = J_0|0\rangle_{\text{in}},\quad |n\rangle_{\text{in}} = \frac{1}{\sqrt{n!}}\left(a^\dagger_{\text{out}}\right)^n|0\rangle_{\text{out}}

因此，

∑nΛnn∣n−1⟩out=J0∑nΛn∣n⟩out⟹Λn+1=J0n+1Λn\sum_n\Lambda_n\sqrt{n}|n-1\rangle_{\text{out}} = J_0\sum_n\Lambda_n|n\rangle_{\text{out}}\Longrightarrow\Lambda_{n+1}=\frac{J_0}{\sqrt{n+1}}\Lambda_n

通项为 Λn=J0nn!Λ0\Lambda_n=\displaystyle{\frac{J_0^n}{\sqrt{n!}}\Lambda_0}. 其中，Λ0=e−J02/2\Lambda_0=e^{-J_0^2/2}. 一个 in 的态写成

∣0⟩in=e−J02/2∑nJ0nn!∣n⟩out|0\rangle_{\text{in}}=e^{-J_0^2/2}\sum_n\frac{J_0^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle_{\text{out}}

这等价于从真空 (∣0⟩|0\rangle) 中产生了粒子.

我们还需要简单的量子场论，考虑一个最简单的例子，

L=−12∂μϕ∂μϕ−12m2ϕ2=12ϕ˙2−12∇ϕ∇ϕ−12m2ϕ2\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2=\frac{1}{2}\dot\phi^2-\frac{1}{2}\nabla\phi\nabla\phi-\frac{1}{2}m^2\phi^2

(Lagrangian density) 其中 ϕ\phi 是一个标量场，可以做 Fourier 变换，

ϕ(x)=∫d3k(2π)3/2ϕk(t)eik⃗⋅x⃗\phi(x)=\int\frac{\text{d}^3k}{(2\pi)^{3/2}}\phi_k(t)e^{\text{i}\vec{k}\cdot\vec{x}}

Lagrangian 是

L=∫Ld3x=12∫d3k(ϕ˙k⃗ϕ˙−k⃗−ω2ϕk⃗ϕ−k⃗)=∫d3k(∣ϕk⃗∣2−ωk⃗2∣ϕ−k⃗∣2)L = \int\mathcal{L}\text{d}^3x = \frac{1}{2}\int\text{d}^3k\left(\dot{\phi}_{\vec{k}}\dot{\phi}_{-\vec{k}}-\omega^2\phi_{\vec{k}}\phi_{-\vec{k}}\right) = \int\text{d}^3k\left(|\phi_{\vec{k}}|^2-\omega_{\vec{k}}^2|\phi_{-\vec{k}}|^2\right)

这说明，一个标量场等价于很多谐振子的集合. 下一步仍然是量子化谐振子，以及求升降算符，略去过程，我们最终会得到

ak⃗=ωk⃗2(ϕk⃗+iπk⃗ωk⃗),ak⃗†=ωk⃗2(ϕk⃗−iπk⃗ωk⃗)a_{\vec{k}} = \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}}}{2}}\left(\phi_{\vec{k}}+\frac{\text{i}\pi_{\vec{k}}}{\omega_{\vec{k}}}\right),\quad a_{\vec{k}}^\dagger = \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}}}{2}}\left(\phi_{\vec{k}}-\frac{\text{i}\pi_{\vec{k}}}{\omega_{\vec{k}}}\right)

这里 π\pi 是正则动量.

由此，

[ak⃗,ak⃗′†]=δ3(k⃗−k⃗′)\left[a_{\vec{k}},a_{\vec{k}'}^\dagger\right] = \delta^3(\vec{k}-\vec{k}')

Hamiltonian 写成

H=12∫d3k⃗(∣πk⃗∣2+ωk⃗∣ϕk⃗∣2)=∫d3k⃗⋅ωk⃗[ak⃗†ak⃗+12δ3(0)]H = \frac{1}{2}\int\text{d}^3\vec{k}\left(\left|\pi_{\vec{k}}\right|^2+\omega_{\vec{k}}\left|\phi_{\vec{k}}\right|^2\right) = \int\text{d}^3\vec{k}\cdot\omega_{\vec{k}}\left[a_{\vec{k}}^\dagger a_{\vec{k}}+\frac{1}{2}\delta^3(0)\right]