Bessel 函数的递推关系满足

Jν−1+Jν+1=2νxJνJ_{\nu-1}+J_{\nu+1}=\frac{2\nu}{x}J_\nu

计算积分：

∫xmJndx=xmJm,m∈Z\int x^mJ_n\text{d}x = x^mJ_m,\quad m\in\mathbb{Z}

仅仅在 m−n∈m-n\in 正奇数时整个定积分才可做，所以说之后齐次化方程的边界条件时，构造的函数要注意是不是可积.

原理在于，每一次做分部积分的时候，出来的第一项必须要是零，不然一直往下递推出现无穷求和就无法计算了.

/Example/

计算定积分：

∫01(1−x2)J0(μx)xdx\int_0^1(1-x^2)J_0(\mu x)x\text{d}x

其中 J0(μ)=0J_0(\mu)=0.

---

递推关系是

1μddx[xνJν(μx)]=xνJν−1(μx)\frac{1}{\mu}\frac{\text{d}}{\text{d}x}[x^\nu J_\nu(\mu x)]=x^\nu J_{\nu-1}(\mu x)

积分为

∫01(1−x2)J0(μx)xdx=1μ∫01(1−x2)ddx[xJ1(μx)]dx=1μ(1−x2)xJ1(μx)∣01+2μ∫01x2J1(μx)dx=2μ2x2J2(μx)∣01=2μ2J2(μ)\begin{aligned} &\int_0^1(1-x^2)J_0(\mu x)x\text{d}x \\\\ &= \frac{1}{\mu}\int_0^1(1-x^2)\frac{\text{d}}{\text{d}x}[xJ_1(\mu x)]\text{d}x\\\\ &=\left.\frac{1}{\mu}(1-x^2)xJ_1(\mu x)\right|^1_0+\frac{2}{\mu}\int_0^1x^2J_1(\mu x)\text{d}x\\\\ &= \left.\frac{2}{\mu^2}x^2J_2(\mu x)\right|^1_0 = \boxed{\frac{2}{\mu^2}J_2(\mu)} \end{aligned}

到这里还没做完，因为我们课程要求尽量把 Bessel 函数的阶数降到最低，同时不增加额外的项数，因此还要再算一步 (2 分)：

J0(μ)+J2(μ)=2μJ(μ),J0(μ)=0J_0(\mu)+J_2(\mu)=\frac{2}{\mu}J_(\mu),\quad J_0(\mu)=0

所以答案为

∫01(1−x2)J0(μx)xdx=4μ3J1(μ)\int_0^1(1-x^2)J_0(\mu x)x\text{d}x=\boxed{\frac{4}{\mu^3}J_1(\mu)}

渐近展开

Bessel 函数的展开有两种类型 (不证明，但是要背)：

z→0,Jν(z)=1Γ(ν+1)(z2)ν+O(zν+2)z→∞,Jν(z)∼2πzcos⁡(z−νπ2−π4),∣arg⁡z∣<π\begin{aligned} &z\to0,\quad J_\nu(z)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{z}{2}\right)^\nu+\mathcal{O}(z^{\nu+2})\\\\ &z\to\infty,\quad J_\nu(z)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cos\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right),\quad |\arg z|<\pi \end{aligned}

Neumann 函数渐近展开：

z→0,Nν(z)∼−Γ(ν)π(z2)−νz→∞,Nν(z)=2πzsin⁡(z−νπ2−π4),∣arg⁡z∣<π\begin{aligned} &z\to0,\quad N_\nu(z)\sim-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac{z}{2}\right)^{-\nu}\\\\ &z\to\infty,\quad N_\nu(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin\left(z-\frac{\nu\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right),\quad |\arg z|<\pi \end{aligned}

讲一个积分：

∫J0(x)cos⁡xdx\int J_0(x)\cos x\text{d}x

做法是对 “11” 分部积分，

∫J0(x)cos⁡xdx=xcos⁡xJ0(x)−∫x[J0(x)cos⁡x]′dx=xcos⁡xJ0(x)−∫x[−J1(x)cos⁡x−J0(x)sin⁡x]dx=xcos⁡xJ0(x)+∫[d[xJ1(x)]dxsin⁡x+xJ1(x)cos⁡x]dx=xcos⁡xJ0(x)+xsin⁡xJ1(x)\begin{aligned} &\int J_0(x)\cos x\text{d}x\\ &=x\cos xJ_0(x)-\int x[J_0(x)\cos x]'\text{d}x\\ &=x\cos xJ_0(x)-\int x[-J_1(x)\cos x-J_0(x)\sin x]\text{d}x\\ &=x\cos xJ_0(x)+\int \left[\frac{\text{d}[xJ_1(x)]}{\text{d}x} \sin x+xJ_1(x)\cos x\right]\text{d}x\\\\ &=\boxed{x\cos xJ_0(x)+x\sin xJ_1(x)} \end{aligned}

同理，可以积分：

∫xnJn(x)cos⁡xdx\int x^nJ_n(x)\cos x\text{d}x

实际上是对 x2nx^{2n} 的分部积分.

生成函数

生成函数为

exp⁡[z2(t−1t)]=∑n=−∞∞Jn(z)tn\exp\left[\frac{z}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)\right]=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)t^n

如果令 t=ieiθt=\text{i}e^{\text{i}\theta}，那么

eizcos⁡θ=∑n=−∞∞Jn(z)ineinθ=J0(z)+2∑n=1∞inJn(z)cos⁡nθe^{\text{i}z\cos\theta}=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)\text{i}^ne^{\text{i}n\theta} = J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty\text{i}^nJ_n(z)\cos n\theta

为了看到其物理意义，令 z=krz=kr，则 LHS 明显是一个平面波，RHS 则是展开的一系列柱面波，这就是「平面波按照柱面波展开」，是一种分波近似.

如果令 t=eiθt=e^{\text{i}\theta}，那么

eizsin⁡θ=∑n=−∞∞Jn(z)einθe^{\text{i}z\sin\theta}=\sum_{n=-\infty}^\infty J_n(z)e^{\text{i}n\theta}

这是函数 f(z)=eizsin⁡θf(z)=e^{\text{i}z\sin\theta} 的 Fourier 展开，由展开的系数表达式，我们得到了 Bessel 函数的积分表达式：

Jn(z)=12π∫−ππeizsin⁡θ(einθ)∗dθ=12π∫−ππ[cos⁡(zsin⁡θ−nθ)+isin⁡(zsin⁡θ−nθ)]dθ\begin{aligned} J_n(z)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\text{i}z\sin\theta}(e^{\text{i}n\theta})^*\text{d}\theta\\\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi[\cos(z\sin\theta-n\theta)+\text{i}\sin(z\sin\theta-n\theta)]\text{d}\theta \end{aligned}

RHS 的虚部是奇函数，积分为零，积分表达式是

Jn(z)=1π∫0πcos⁡(zsin⁡θ−nθ)dθJ_n(z)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos(z\sin\theta-n\theta)\text{d}\theta

/Example/

重新计算定积分：

∫0∞e−axJ0(bx)dx,ℜ(a)>0\int_0^\infty e^{-ax}J_0(bx)\text{d}x,\quad \Re(a)>0

---

∫0∞e−axJ0(bx)dx=∫0∞e−ax[12π∫−ππeibxsin⁡θdθ]dx=1π∫−ππdθa−ibsin⁡θ\begin{aligned} &\int_0^\infty e^{-ax}J_0(bx)\text{d}x\\\\ &=\int_0^\infty e^{-ax}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{\text{i}bx\sin\theta}\text{d}\theta\right]\text{d}x\\\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac{\text{d}\theta}{a-\text{i}b\sin\theta} \end{aligned}

用留数定理，得到答案 (a2+b2)−1/2(a^2+b^2)^{-1/2}.

下面我们说一说圆孔的 Fraunhofer 衍射，既然讲到这里了就物理一点. 由 Huygens-Fresnel 原理，波振幅为

A∝∫Σ′e−ik⃗⋅r⃗′dΣ′A\propto\int_{\Sigma'}e^{-\text{i}\vec{k}\cdot\vec{r}'}\text{d}\Sigma'

假设入射光沿 zz 方向，圆孔上的点取极坐标 (ρ,φ)(\rho,\varphi). 衍射光与 zz 轴夹角 θ\theta，在 xx - yy 平面和 xx 轴夹角 ψ\psi. 得到

k⃗⋅r⃗′=2πρsin⁡θλcos⁡(φ−ψ)\vec{k}\cdot\vec{r}'=\frac{2\pi\rho\sin\theta}{\lambda}\cos(\varphi-\psi)

所以积分变为

A∝∫0a∫02πe−ikρsin⁡θcos⁡(φ−ψ)ρdρdφA\propto\int_0^a\int_0^{2\pi}e^{-\text{i}k\rho\sin\theta\cos(\varphi-\psi)}\rho\text{d}\rho\text{d}\varphi

(aa 是圆孔半径.) 由 Bessel 函数的积分表示，立刻知道

∫02πe−ikρsin⁡θcos⁡(φ−ψ)dφ=2πJ0(kρsin⁡θ)\int_0^{2\pi}e^{-\text{i}k\rho\sin\theta\cos(\varphi-\psi)}\text{d}\varphi=2\pi J_0(k\rho\sin\theta)

积分化为

A∝∫0aJ0(kρsin⁡θ)ρdρA\propto\int_0^aJ_0(k\rho\sin\theta)\rho\text{d}\rho

直接用递推关系，得到

A∝J1(x)x,x=kasin⁡θ=2πasin⁡θλA\propto\frac{J_1(x)}{x},\quad x=ka\sin\theta=\frac{2\pi a\sin\theta}{\lambda}

波强为

I∝[J1(x)x]2I\propto\left[\frac{J_1(x)}{x}\right]^2

取中心 θ=0\theta=0 的光强为 I0I_0 就能确定整个光强函数.

柱函数

满足递推关系

ddz[zνCν(z)]=zνCν−1(z),ddz[z−νCν(z)]=−z−νCν+1(z)\frac{\text{d}}{\text{d}z}[z^\nu C_\nu(z)]=z^\nu C_{\nu-1}(z),\quad \frac{\text{d}}{\text{d}z}[z^{-\nu}C_\nu(z)]=-z^{-\nu}C_{\nu+1}(z)

的函数统称为柱函数.

我们知道 Jν(z)J_\nu(z) 和 Nν(z)N_\nu(z) 在 z→∞z\to\infty 的渐近展开描写柱面波，但是它们各自都含有发散和会聚的成分，需要相加和相减来构造出仅有会聚或者仅有发散成分的函数，这就是 Hankel 函数，

Hν(1)(z)≡Jν(z)+iNν(z),Hν(2)(z)≡Jν(z)−iNν(z)H_\nu^{(1)}(z)\equiv J_\nu(z)+\text{i}N_\nu(z),\quad H_\nu^{(2)}(z)\equiv J_\nu(z)-\text{i}N_\nu(z)

Bessel 函数的应用

先来做一个积分：

∫dxxJν2(x)\int\frac{\text{d}x}{xJ_\nu^2(x)}

---

注意到 Bessel 函数的 Wronsky 行列式正好是 1/x1/x，

1x=Jν(z)dNν(z)dz−Nν(z)dJν(z)dz\frac{1}{x}=J_\nu(z)\frac{\text{d}N_\nu(z)}{\text{d}z}-N_\nu(z)\frac{\text{d}J_\nu(z)}{\text{d}z}

然后就可做了.

/Example/

求四周固定的圆形薄膜的固有频率.

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这不是一个定解问题 —— 只需要求本征值问题的本征值 (甚至不用求本征函数).

在平面极坐标系中，

∂2u∂t2−c2[1r∂∂r(r∂u∂r)+1r2∂2u∂ϕ2]=0\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-c^2\left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\phi^2}\right]=0

代入 u(r,ϕ,t)=v(r,ϕ)eiωtu(r,\phi,t)=v(r,\phi)e^{\text{i}\omega t}. 则

1r∂∂r(r∂v∂r)+1r2∂2v∂ϕ2+ω2c2v=0\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial v}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2v}{\partial\phi^2}+\frac{\omega^2}{c^2}v=0

这里 cc 待定. 然后按步骤分离变量，

1rddr[rdR(r)dr]+(k2−m2r2)R(r)=0\frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left[r\frac{\text{d}R(r)}{\text{d}r}\right]+\left(k^2-\frac{m^2}{r^2}\right)R(r)=0

首先可以确定 k=ω/c≠0k=\omega/c\neq0，否则是平凡的频率. 通解为

R(r)=CJm(kr)+DNm(kr)R(r)=CJ_m(kr)+DN_m(kr)

边界条件要求 kmi2=[μi(m)/a]2k^2_{mi}=[\mu_i^{(m)}/a]^2，其中 μ\mu 是零点，μi(m)\mu_i^{(m)} 是 mm 阶 Bessel 函数 Jm(x)J_m(x) 的第 ii 个正零点.

---

下面研究本征函数的正交关系. 假设有一个本征函数 Jm(kmir)J_m(k_{mi}r)，另有一个函数 Jm(kr)J_m(kr)，分别满足各自的 Bessel 方程.

分别用 rJm(kr)rJ_m(kr) 和 rJm(kmir)rJ_m(k_{mi}r) 交叉相乘再相减，并积分：

(kmi2−k2)∫0aJm(kmir)Jm(kr)rdr=r[Jm(kmir)dJm(kr)dr−Jm(kr)dJm(kmir)dr]r=0r=a\begin{aligned} &(k_{mi}^2-k^2)\int_0^aJ_m(k_{mi}r)J_m(kr)r\text{d}r\\\\ &=r\left[J_m(k_{mi}r)\frac{\text{d}J_m(kr)}{\text{d}r}-J_m(kr)\frac{\text{d}J_m(k_{mi}r)}{\text{d}r}\right]^{r=a}_{r=0} \end{aligned}

仅仅考虑某些特殊情形，首先考虑 kmi≠k=kmjk_{mi}\neq k=k_{mj} (i≠ji\neq j)，得到 00 (正交). 再考虑 k=kmik=k_{mi}，得到

∫0aJm2(kmir)rdr=−lim⁡k→kmikmiakmi2−k2Jm(ka)Jm′(kmia)=a22[Jm′(kmia)]2=a22[Jm′(μi(m))]2\begin{aligned} \int_0^aJ_m^2(k_{mi}r)r\text{d}r&=-\lim_{k\to k_{mi}}\frac{k_{mi}a}{k_{mi}^2-k^2}J_m(ka)J'_m(k_{mi}a)\\\\ &=\frac{a^2}{2}[J'_m(k_{mi}a)]^2 = \boxed{\frac{a^2}{2}\left[J'_m\left(\mu_i^{(m)}\right)\right]^2} \end{aligned}

这个结果和边界条件有关，三类边界条件统一写成 (αR′(a)+βR(a)=0\alpha R'(a)+\beta R(a)=0)：

• α=0\alpha=0 第一类
• β=0\beta=0 第二类
• α,β≠0\alpha,\beta\neq0 第三类

上面是第一类边界条件的结果. 对于第二类边界条件，归一化系数是

∫0aJm2(kmir)rdr=(1−m2(μi(m))2)a2Jm2(μi(m))2\int_0^aJ_m^2(k_{mi}r)r\text{d}r=\left(1-\frac{m^2}{\left(\mu_i^{(m)}\right)^2}\right)\frac{a^2J_m^2\left(\mu_i^{(m)}\right)}{2}

第三类边界条件：

a22[Jm′2(μi(m))+(1−m2(μi(m))2)Jm2(μi(m))]\frac{a^2}{2}\left[J'^2_m\left(\mu_i^{(m)}\right)+\left(1-\frac{m^2}{\left(\mu_i^{(m)}\right)^2}\right)J_m^2\left(\mu_i^{(m)}\right)\right]

直接利用 Bessel 方程交叉相乘再相减，可得到一个结论：

∫0xJm(x)Jn(x)xdx=xm2−n2[Jm′(x)Jn(x)−Jn′(x)Jm(x)]\int_0^x\frac{J_m(x)J_n(x)}{x}\text{d}x=\frac{x}{m^2-n^2}[J_m'(x)J_n(x)-J_n'(x)J_m(x)]

这个式子可以用来计算下面的积分：

∫0∞J12(x)x2dx\int_0^\infty\frac{J_1^2(x)}{x^2}\text{d}x

先使用一个递推关系

J0+J2=2J1xJ_0+J_2=\frac{2J_1}{x}

换掉其中一个 J1J_1，然后就是上面的结论式.

/Example/

将定义在 [0,1][0,1] 上的函数 1−x21-x^2 按照 J0(μix)J_0(\mu_ix) 展开，其中 μi\mu_i 是 J0(x)J_0(x) 的正零点.

---

1−x2=∑i=1∞ciJ0(μix)1-x^2=\sum_{i=1}^\infty c_iJ_0(\mu_i x)

则系数为

ci=2J12(μi)∫01(1−x2)J0(μix)xdxc_i=\frac{2}{J_1^2(\mu_i)}\int_0^1(1-x^2)J_0(\mu_ix)x\text{d}x

根据上一节的结果，得到 ci=8/μi3J1(μi)c_i=8/\mu_i^3J_1(\mu_i).

如果令 x=1x=1，可以发现一个结论

∑i=1∞1μi2=14\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\mu_i^2}=\frac{1}{4}

讲一个需要注意的点：下面这个方程是 00 阶的 Bessel 方程，千万不要乱解：

1rddr[rdR(r)dr]+R(r)=0\frac{1}{r}\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left[r\frac{\text{d}R(r)}{\text{d}r}\right]+R(r)=0