绝热近似：我们思考的是能级随着时间 (或者某个广义参数) 的变化，在广义参数的缓慢变化下，粒子会留在绝热能级上. 这时候粒子会多两个相位 —— 动力学相位 & 几何相位.

对于一个在磁场中运动的粒子，有 Berry 相位

∮CA⃗⋅dR⃗∝Ω\oint_C\vec{A}\cdot\text{d}\vec{R}\propto\Omega

这是由粒子的运动轨迹决定的. 对于 Lamor 进动的模型，波函数为

χ+(t)=(cos⁡θ/2eiϕsin⁡θ/2)\chi_+(t)=\begin{pmatrix} \cos\theta/2\\e^{\text{i}\phi}\sin\theta/2 \end{pmatrix}

这里的相位是 Berry 项.

AB 效应：Hamiltonian 可以写成

H=12m(ℏi∇−qA⃗)2+qϕH = \frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{\text{i}}\nabla-q\vec{A}\right)^2+q\phi

对于一个理想通电螺线管，A⃗=Φ/(2πr)ϕ^\vec{A}=\Phi/(2\pi r)\hat{\phi}. Schrödinger 方程：

12m[−ℏ2b2d2dϕ2+q2Φ2(2πb)2+iℏqΦπb2ddϕ]ψ(ϕ)=Eψ(ϕ)\frac{1}{2m}\left[-\frac{\hbar^2}{b^2}\frac{\text{d}^2}{\text{d}\phi^2}+\frac{q^2\Phi^2}{(2\pi b)^2}+\text{i}\frac{\hbar q\Phi}{\pi b^2}\frac{\text{d}}{\text{d}\phi}\right]\psi(\phi) = E\psi(\phi)

取的 ansatz 为 AeiλϕAe^{\text{i}\lambda\phi}，代入可以得到 λ\lambda 满足的条件，最终得到能量受到磁通量的影响：

En(Φ)=ℏ22mb2(n−qΦ2πℏ)2E_n(\Phi) = \frac{\hbar^2}{2mb^2}\left(n-\frac{q\Phi}{2\pi\hbar}\right)^2

波函数也多了一个相位

Δγ(ϕ)=−qΦ2πℏϕ\Delta\gamma(\phi) = -\frac{q\Phi}{2\pi\hbar}\phi

这个体系中粒子运动的区域并没有磁场，但是相位有个整体的 shift，来源于几何效应，这就是 Berry 相的一个例子. 实践中，就是在电子干涉实验的光路中，引入一个通电螺线管，会发现条纹的整体位移，这就是 AB 效应.

散射：实际上是中心势场，类似 Binet 方程，可以换元 rR(r)≡u(r)rR(r)\equiv u(r).

−ℏ22md2dr2u(r)+[V(r)+l(l+1)ℏ22mr2]u(r)=Eu(r)-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2}{\text{d}r^2}u(r)+\left[V(r)+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}\right]u(r)=Eu(r)

不同的 EE 会有不同的散射角和运动情况.

• 1e5e2-feat(note): add notes于 2025/12/30