再来说说我们研究黑洞的思路：实际上就是在研究视界，因此把视界附近的内容放大，为此定义

ρ=∫2GMrgrr(r′)dr′\rho = \int_{2GM}^r\sqrt{g_{rr}(r')}\text{d}r'

我们总能把度规写成

dτ2=ρ2dω2−dρ2−dX2−dY2\text{d}\tau^2=\rho^2\text{d}\omega^2-\text{d}\rho^2-\text{d}X^2-\text{d}Y^2

的形式，从而得到 Kruskal 坐标，也就是

dτ2=32G3M3re−r/(2GM)dUdV−r2dΩ2\text{d}\tau^2 = \frac{32G^3M^3}{r}e^{-r/(2GM)}\text{d}U\text{d}V - r^2\text{d}\Omega^2

如果正在研究视界附近的径向运动，那么后一项不重要，前面可以化为 16G2M2dUdV16G^2M^2\text{d}U\text{d}V，由此，总可以把黑洞视界附近的时空分为四个区域，然后解释其物理意义.

上节课最后我们说到了带电的 RN 黑洞 (Reissner - Nordström 黑洞)，

dτ2=(1−2GMr+Q2r2)dt2−(1−2GMr+Q2r2)−1dr2−r2dΩ2\text{d}\tau^2 = \left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)\text{d}t^2-\left(1-\frac{2GM}{r}+\frac{Q^2}{r^2}\right)^{-1}\text{d}r^2-r^2\text{d}\Omega^2

令 f(r)f(r) 为 gttg_{tt}，那么坐标奇点就是 f(r)=0f(r)=0 对应的解，一共有两个，分别为

r±=GM±(GM)2−Q2r_{\pm}=GM\pm\sqrt{(GM)^2-Q^2}

还是研究黑洞在坐标奇点附近的性质. 将 f(r)f(r) 在奇点附近做一个展开，首先考虑 r≈r+r\approx r_+ 时，

f(r)=1r2(r−r+)(r−r−)≈[1r+2(r+−r−)](r−r+)f(r)=\frac{1}{r^2}(r-r_+)(r-r_-) \approx\left[\frac{1}{r_+^2}(r_+-r_-)\right](r-r_+)

仍旧 play our trick，为了消除度规里面的坐标奇点，定义

r∗=∫dr′f(r′)=12κ+ln⁡∣r+(r−r+)∣,κ+=r+−r−2r+2r_*=\int\frac{\text{d}r'}{f(r')}=\frac{1}{2\kappa_+}\ln|r_+(r-r_+)|,\quad \kappa_+=\frac{r_+-r_-}{2r_+^2}

然后度规就变为

dτ2=f(r)(dt2−dr∗2)−r2dΩ2\text{d}\tau^2=f(r)(\text{d}t^2-\text{d}r_*^2)-r^2\text{d}\Omega^2

朴素的想法是直接定义 u=t−r∗u=t-r_*，v=t+r∗v=t+r_*，但是这样还是不好计算，所以做一次 rescale，定义为

u+=∓e−κ+u,v+=eκ+vu_+=\mp e^{-\kappa_+u},\quad v_+=e^{\kappa_+v}

度规变换为 (这里 r≈r+r\approx r_+ 所以第二项也近似了)：

dτ2=2κ+2du+dv+−r+2dΩ2\text{d}\tau^2=\frac{2}{\kappa_+^2}\text{d}u_+\text{d}v_+-r_+^2\text{d}\Omega^2

类似之前 Schwarzschild 黑洞的情况，仍然是过了视界，类时的世界线就无法返回. 问题主要出现在 r−r_- 的位置，过了这里 f(r)f(r) 的符号再次变回正的. 定义

f(r)=−κ−(r−r−)f(r)=-\kappa_-(r-r_-)

仍然有

r∗=−12κ−ln⁡∣r−(r−r−)∣,u=t−r∗,v=t+r∗r_*=-\frac{1}{2\kappa_-}\ln|r_-(r-r_-)|,\quad u=t-r_*,\quad v=t+r_*

定义新的

u−=∓eκ−u,v−=−e−κ−vu_-=\mp e^{\kappa_-u},\quad v_-=-e^{-\kappa_-v}

和 Schwarzschild 时空的 Kruskal 坐标相比，那里的 r=0r=0 对应着 uv=1uv=1 的双曲线；但是这里 r=0r=0 对应 u−v−=−1u_-v_-=-1，因此进入的类时世界线不一定会碰到 r=0r=0 的本性奇点，而是可能回到 r+r_+ 所对应的那个坐标. 如果是在 r+r_+ 对应的坐标里，外部和 Schwarzschild 时空差不多，只是不存在本性奇点，只有一个虚拟的 boundary. 过了虚拟 boundary 就进入 r−r_- 对应的坐标.

简单来说就是在 r±r_{\pm} 之间无法反向，只能沿着黑洞 (或者白洞) 走；在 r−r_- 内部可以反向逃出黑洞，在外部可能落回来或者永久逃出.

旋转黑洞：Kerr - Neumann 黑洞，Kerr 度规为

−dτ2=ds2=−(1−2Mrρ2)dt2−4Marsin⁡2θρ2dϕdt+ρ2Δdr2+ρ2dθ2+(r2+a2+2Mra2sin⁡2θρ2)sin⁡2θdϕ2G=1\begin{aligned} -\text{d}\tau^2=\text{d}s^2&=-\left(1-\frac{2Mr}{\rho^2}\right)\text{d}t^2-\frac{4Mar\sin^2\theta}{\rho^2}\text{d}\phi\text{d}t+\frac{\rho^2}{\Delta}\text{d}r^2\\\\ &\quad +\rho^2\text{d}\theta^2+\left(r^2+a^2+\frac{2Mra^2\sin^2\theta}{\rho^2}\right)\sin^2\theta\text{d}\phi^2 \end{aligned}\quad G=1

这里，

a=JM (angular momentum per weight)Δ=r2−2Mr+a2ρ2=r2+a2cos⁡2θ\begin{aligned} &a=\frac{J}{M}\text{ (angular momentum per weight)}\\\\ &\Delta=r^2-2Mr+a^2\\\\ &\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta \end{aligned}

为了分析 Kerr 黑洞附近物体的运动，想到之前我们说过的 Killing 矢量场，用来找守恒. 之前证明过，if Lξgμν=0\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=0，then UμξμU_\mu\xi^\mu is conserved. 有

Lξgμν=ξλgμν,λ−ξλ,μgλν−ξλ,νgμλ=0\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu} = \xi^\lambda g_{\mu\nu,\lambda}-\xi^\lambda{}_{,\mu}g_{\lambda\nu}-\xi^\lambda{}_{,\nu}g_{\mu\lambda}=0

找到的 Killing vectors 仍然是

δμϕ^,δμt^\delta^\mu{}_{\hat{\phi}},\quad \delta^\mu{}_{\hat{t}}

于是得到守恒量，能量为

E=−ξμUμ=−gμνξμUν=−gttUt−gtϕUϕE=-\xi_\mu U^\mu=-g_{\mu\nu}\xi^\mu U^\nu=-g_{tt}U^t-g_{t\phi}U^\phi

角动量：

L=−gϕtUt−gϕϕUϕL=-g_{\phi t}U^t-g_{\phi\phi}U^\phi

一阶运动方程变化为 (Ut=dt/dτU^t=\text{d}t/\text{d}\tau，Uϕ=dϕ/dτU^\phi=\text{d}\phi/\text{d}\tau)

dϕdτ=1Δ[(r2+a2+2Ma2r)E−2MarL]dtdτ=1Δ[(1−2Mr)L+2MarE]\begin{aligned} &\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau} = \frac{1}{\Delta}\left[\left(r^2+a^2+\frac{2Ma^2}{r}\right)E-\frac{2Ma}{r}L\right]\\\\ &\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau} = \frac{1}{\Delta}\left[\left(1-\frac{2M}{r}\right)L+\frac{2Ma}{r}E\right] \end{aligned}

下一步需要得到 dr/dτ\text{d}r/\text{d}\tau 以便于求出轨道，利用测地线方程，

E2−12=12(drdτ)2+Veff(r,E,L)\frac{E^2-1}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\text{d}r}{\text{d}\tau}\right)^2+V_{\text{eff}}(r,E,L)

其中，有效势能

Veff=−Mr+L2−a2(E2−1)2r2−M(L−aE)2r2V_{\text{eff}}=-\frac{M}{r}+\frac{L^2-a^2(E^2-1)}{2r^2}-\frac{M(L-aE)^2}{r^2}

下面说 Kerr 解作为黑洞的性质. 考虑 Kerr 解的 Riemann 标量完全缩并：

RμνρσRμνρσ=48M2(r2−a2cos⁡2θ)(ρ4−16a2r2cos⁡2θ)ρ12R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48M^2(r^2-a^2\cos^2\theta)(\rho^4-16a^2r^2\cos^2\theta)}{\rho^{12}}

这里 ρ=0\rho=0 对应本性奇点，Δ=0\Delta=0 对应坐标奇点，可见：

gtt=ρ2−2Mrρ2=r2+a2cos⁡2θ−2Mrρ2g_{tt}=\frac{\rho^2-2Mr}{\rho^2}=\frac{r^2+a^2\cos^2\theta-2Mr}{\rho^2}

两个奇点并没有很大距离，在外侧的区域并不是真正的视界，进去之后理论还能出来，这一个外层的区域被称为 ergosphere (erg 就是我们常用的能量单位)，也就是能层，它包含着黑洞全部的旋转能量. Penrose 证明了能层里面的能量可以被提取出来，作为一个能量源.