需要提前说明的是，这些理论仍然是「经典」的 (相对于量子力学而言)，在这些理论中带电粒子服从的是质点运动的相关运动学和动力学，不表现出任何波动性；电磁场 (光波) 服从的是经典的波动力学，不表现出任何粒子性. 因此这是在经典近似下成立的理论.

近似的条件：粒子必须做宏观的运动，比如加速器中的电子运动，而不能是原子中的电子这样小的尺度.

一个任意运动的带电粒子产生的电磁场：

φ(x⃗,t)=14πε0∫Vρ(x⃗′,t−rc)rdτ′,A⃗(x⃗,t)=μ04π∫Vj⃗(x⃗′,t−rc)rdτ′\varphi(\vec{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\displaystyle{\rho\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\text{d}\tau',\quad\vec{A}(\vec{x},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\displaystyle{\vec{j}\left(\vec{x} ',t-\frac{r}{c}\right)}}{r}\text{d}\tau'

实验室系中做变换，得到

A⃗=μ0ev⃗4π(r−v⃗c⋅r⃗),φ=e4πε0(r−v⃗c⋅r⃗)\vec{A} = \frac{\mu_0e\vec{v}}{\displaystyle{4\pi\left(r-\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{r}\right)}},\quad \varphi = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0\displaystyle{\left(r-\frac{\vec{v}}{c}\cdot\vec{r}\right)}}

这是运动带电粒子的 Lienard - Wiechert 势.

两个变换引起的导数：

∂t′∂t=11−v⃗⋅r⃗cr,∇t′=−n^c(1−v⃗⋅n^c)\frac{\partial t'}{\partial t}=\frac{1}{\displaystyle{1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{r}}{cr}}},\quad \nabla t' = -\frac{\hat{n}}{\displaystyle{c\left(1-\frac{\vec{v}\cdot\hat{n}}{c}\right)}}

(其中 n^=r⃗/r\hat{n}=\vec{r}/r.) 低速近似下 (近似到最低阶)，在本征系中，

B⃗=ev⃗×r⃗4πε0c2r3+ev⃗˙×r⃗4πε0c2r2E⃗=er⃗4πε0r3+e4πε0c2r3r⃗×(r⃗×v⃗˙)\begin{aligned} \vec{B} &= \frac{e\vec{v}\times\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0c^2r^3}+\frac{e\dot{\vec{v}}\times\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0c^2r^2}\\\\ \vec{E} &= \frac{e\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}+\frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2r^3}\vec{r}\times(\vec{r}\times\dot{\vec{v}}) \end{aligned}

其中前面一项是电磁场项，后面一项是辐射项.

换系之后，辐射场为：

E⃗=e4πε0rn^×[(n^−v⃗/c)×v⃗˙](1−v⃗⋅n^/c)3,B⃗=n^c×E⃗\vec{E} = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0r}\frac{\hat{n}\times[(\hat{n}-\vec{v}/c)\times\dot{\vec{v}}]}{(1-\vec{v}\cdot\hat{n}/c)^3},\quad\vec{B}=\frac{\hat{n}}{c}\times\vec{E}

轫致辐射 (v⃗∥v⃗˙\vec{v}\parallel\dot{\vec{v}})：「轫」实际上是刹车的意思.

E⃗=e4πε0c2rn^×(n^⋅v⃗˙)(1−v⃗⋅n^/c)3,B⃗=−e4πε0c2rn^×v⃗˙(1−v⃗⋅n^/c)3s⃗=e2∣v⃗˙∣216π2ε0c3r2sin⁡θ⋅n^(1−vcos⁡θ/c)6\begin{aligned} \vec{E} &= \frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\frac{\hat{n}\times(\hat{n}\cdot\dot{\vec{v}})}{(1-\vec{v}\cdot\hat{n}/c)^3},\quad \vec{B} = -\frac{e}{4\pi\varepsilon_0c^2r}\frac{\hat{n}\times\dot{\vec{v}}}{(1-\vec{v}\cdot\hat{n}/c)^3}\\\\ \vec{s} &= \frac{e^2|\dot{\vec{v}}|^2}{16\pi^2\varepsilon_0c^3r^2}\frac{\sin\theta\cdot\hat{n}}{(1-v\cos\theta/c)^6} \end{aligned}

辐射的角功率分布是：

dP(t′)dΩ=r2s⃗⋅n^dtdt′=e2∣v⃗˙∣2sin⁡2θ16π2ε0c3(1−vcos⁡θ/c)5\frac{\text{d}P(t')}{\text{d}\Omega} = r^2\vec{s}\cdot\hat{n}\frac{\text{d}t}{\text{d}t'} = \frac{e^2|\dot{\vec{v}}|^2\sin^2\theta}{16\pi^2\varepsilon_0c^3(1-v\cos\theta/c)^5}

也就是速度越大，减速时轫致辐射的方向性更强、沿着运动方向发射辐射；反之速度很小时这个辐射的极大几乎垂直于运动方向.

同步辐射 (v⃗⊥v⃗˙\vec{v}\perp\dot{\vec{v}})：同步加速器中电子圆周运动产生这种辐射.

• 2d661-feat(note): add note于 2025/12/18