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材料科学基础系列笔记整理声明

2.1 晶向指数与晶面指数

晶向

定义：

穿过空间点阵中任意两个阵点的直线构成一个阵点列，都代表晶体中一个原子列在空间的位向，称为晶向。

1. 晶向不代表点阵中的具体位置
2. 过一个阵点可以有无数个晶向
3. 晶向上阵点的分布具有周期性
4. 具有相同的周期性但空间位向不同的晶向组成晶向族

用密勒指数(Miller Indices)来表示晶向、晶面在晶体中的相对取向。

晶面

通过空间点阵中的任意一组阵点的平面代表晶体中的原子平面，称为晶面。

1. 晶面代表一组特定空间位向的平行等距的原子面，不代表具体位置
2. 通过一个阵点列可以有无数个晶面
3. 晶面上阵点的排布具有二维的周期性和对称性
4. 晶体中具有相同的原子排布方式而空间位向不同的各组晶面构成一个晶面族。

密勒指数

用于表示晶向和晶面空间位置的符号，分为晶向指数和晶面指数。

晶向指数

确定步骤：

1. 建立坐标系
2. 画出待定晶向
3. 确定坐标值
4. 化整并加方括号若为符号则加在字符上面

根据指数画晶向：

1. 确定晶向上某点坐标将最大项化为1，其他对应化为分数
2. 根据坐标正负确定原点，保证晶向在一个晶胞内
3. 根据坐标值确定终点
4. 连接原点终点

Points：

• [uvw]代表相互平行、方向一致的所有晶向
• 晶向具有方向性，数字相同符号相反的两晶向指数相互平行，方向相反

• <uvw>表示晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向，称为晶向族。

  • 如对于立方晶系的<111>分别排列组合$\pm u、\pm v、\pm w$，可以得到$2^3=8$个晶向，构成一个晶向族。

    Attention: 非立方晶系改变顺序的指数不一定属于同一晶向族

晶面指数

画晶面：

1. 根据晶面指数取倒数，即晶面在三个坐标轴上的截距
2. 根据坐标值正负确定原点，保证晶面在一个晶胞内
3. 算出各截距坐标点
4. 连接3点形成晶面

Points：

• (hkl)代表一组平行的晶面
• 数字相同而正负号完全相反的晶面指数表示平行晶面（一般晶面无朝向）

• {hkl}表示表示晶面上原子排列情况和晶面间距完全相同、只是空间位向不同的各组晶面，称为晶面族

  • 只有在立方晶系中可将晶面族{hkl}中的h、k、l，改变符号和顺序，进行任意排列组合，构成这个晶面族所包括的所有晶面的指数

{100}晶面族

{110}晶面族

111晶面族

晶面族中的晶面数量：

• h k l三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有 3!×4=24组，如{123}
• h k l有两个数字相等，且都≠0，则有 3!/2!×4=12组， 如{112}
• h k l三个数相等，则有 3!/3!×4=4组，如{111}
• h k l 有一个为0，应除以2，则有 3!/2×4=12组，如{120}
• h k l有二个为0，应除以22，则有 3!/2!22×4=3组，如{100}

关于为什么看起来少了几种类型：

晶面(hkl)垂直于对应的晶向<hkl>。我们以上面{110}晶系为例，对于晶面(110)，有晶向<110>；对第二位取反，得到晶面(1 -1 0)和晶向<1 -1 0>。画出可以发现，和晶面(-1 1 0)相同。但是两个晶向反向，这就说明了实际两个晶面是相反的。只不过我们不作区分。

六方晶系中的米勒指数

问题：

使用三指数会导致同一晶向族、晶面族的指数数字不同

对于六方晶系，我们引入了四轴坐标系。

四轴晶向指数：

• 用[uvtw]表示晶向指数
• u、v、t对应的$a_1、a_2、a_3$轴相互之间夹角为$120^\circ$
• 其中$t=-(u+v)$

换算法：

对于四轴表示[uvtw]和原三轴表示[UVW]，有

$$ \text{三指数}\rightarrow\text{四指数：} \begin{cases} u=\frac{1}{3}(2U-V)\\ v=\frac{1}{3}(2V-U)\\ t=-\frac{1}{3}(U+V)\\ w = W \end{cases} \\\\ \text{四指数}\rightarrow\text{三指数：} \begin{cases} U=u-t\\ V=v-t\\ W=w \end{cases} $$

四轴晶面指数：

对于晶面(hkil)、(HKL)同理，有：

$$ \text{三指数}\rightarrow\text{四指数：} \begin{cases} h=\frac{1}{3}(2H-K)\\ k=\frac{1}{3}(2K-H)\\ I=-\frac{1}{3}(H+K)\\ l = L \end{cases} \\\\ \text{四指数}\rightarrow\text{三指数：} \begin{cases} H=h-i\\ K=k-i\\ L=l \end{cases} $$

六方晶系在四轴坐标系中的表示