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材料科学基础系列笔记整理声明

3.1 晶向与晶面的关系

• 在立方晶系中，同指数的晶向与晶面相互垂直

  • 在其他晶系中不一定成立
• 在所有晶系中，当一晶向[uvw]位于或平行于某一晶面(hkl)时，必有$hu+kv+lw=0$

两晶向间夹角：

$$ \cos{\alpha}=\frac{u_1u_2+v_1v_2+w_1w_2}{\sqrt{{u_1}^2+{v_1}^2+{w_1}^2}\sqrt{{u_2}^2+{v_2}^2+{w_2}^2}} $$

两晶面法线间（等同于面夹角）夹角

$$ \cos{\varphi}=\frac{h_1h_2+k_1k_2+l_1l_2}{\sqrt{{h_1}^2+{k_1}^2+{l_1}^2}\sqrt{{h_2}^2+{k_2}^2+{l_2}^2}} $$

3.1.1 晶带轴定律

晶带和晶带轴：所有相交或平行于某一晶向直线的晶面的组合称为晶带。晶带中的晶面称为晶带面，该直线称为晶带轴

晶带定律

晶带轴[uvw]与该晶带的晶面(hkl)之间的关系为

$$ hu+kv+lw=0 $$

晶带定律的应用：

1. $$ \text{若}\begin{vmatrix} u_1\quad v_1\quad w_1 \\ u_2\quad v_2\quad w_2 \\ u_3\quad v_3\quad w_3 \\ \end{vmatrix}=0\text{, 则三个晶带轴在同一晶面上} $$

2. $$ \text{若}\begin{vmatrix} h_1\quad k_1\quad l_1 \\ h_2\quad k_2\quad l_2 \\ h_3\quad k_3\quad l_3 \\ \end{vmatrix}=0\text{, 则三个晶面属于同一晶带} $$

3. $$ \text{求解两晶面交线：}[uvw]= \begin{vmatrix}\mathbf{i}\quad\mathbf{j}\quad\mathbf{k}\\ h_1\quad k_1\quad l_1 \\ h_2\quad k_2\quad l_2 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} k_1\quad l_1\\ k_1\quad l_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{i} - \begin{vmatrix} h_1\quad l_1\\ h_1\quad l_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} h_1\quad k_1\\ h_1\quad k_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{k} $$

4. $$ \text{求解两晶向确定的晶面：}(hkl)= \begin{vmatrix}\mathbf{i}\quad\mathbf{j}\quad\mathbf{k}\\ u_1\quad v_1\quad w_1 \\ u_2\quad v_2\quad w_2 \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} u_1\quad v_1\\ u_1\quad v_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{i} - \begin{vmatrix} u_1\quad w_1\\ u_1\quad w_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} u_1\quad v_1\\ u_1\quad v_2\\ \end{vmatrix}\mathbf{k} $$

3.1.2 常数计算

晶面间距

$$ d=\frac{a/n}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}},\ n= \begin{cases} 1,\ \text{对于简单立方晶胞}\\ 2,\ \text{对于面心立方晶胞，h、k、l不全为偶数或奇数时}\\ 2,\ \text{对于体心立方晶胞，h+k+l为奇数时}\\ 2,\ \text{对于密排六方晶胞，h+2k为3的倍数且l为奇数时} \end{cases} $$

对于面心立方，密排面为(111)面，堆垛方式为ABCABC...

对于密排六方，密排面为(0001)面，堆垛方式为ABABAB...

致密度

$$ K=\frac{nv}{V} $$

其中n为晶胞的原子数，v为一个原子的体积，V为晶胞体积

致密度和配位数都可以用来表示晶体中原子排列紧密程度

配位数

每个原子周围最近邻且等距离的原子数目

晶格参数一览表

点阵常数与原子半径关系示意图

3.1.3 常见金属的晶体结构

• 面心立方：Au、Ag、Cu、Al、$\gamma$-Fe、Ni、Pb、Pd、Pt
• 体心立方：碱金属、V、Nb、Ta、Cr、Mo、W、$\alpha$-Fe
• 密排六方：$\alpha$-Ti、Be、Zn、Mg、Cd、Li

具有多种晶体结构的金属：铁、钛、锰、锡等。其中锡有：

• 白锡为四方晶系
• 灰锡为金刚石形立方晶系
• 脆锡为正交晶系