By Long Luo

最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》 ，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and How They Work》 ，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲 墨卡托投影( \(\textit{Mercator projection}\) )¹ 。

我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托( \(\textit{Gerardus Mercator}\) )² 在 1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。

如何绘制地图？

在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？

地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 \(\dfrac {1}{300}\) ，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理 ( \(\textit{Theorema Egregium}\) )³ ，平面的高斯曲率为 \(0\) ，而球面的高斯曲率为 \(\dfrac {1}{R^2}\) ，其中 \(R\) 为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。

在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。

什么是墨卡托投影？

设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

墨卡托公式的推导

设 \(P(\textit{lng}, \textit{lat})\) 表示投影前的球面上的点，在数学上我们常使用弧度制，则表示为 \(P(\lambda , \varphi )\) ，其中 \(\lambda = \textit{lng} \cdot \dfrac{\pi}{180} , \quad \varphi = \textit{lat} \cdot \dfrac{\pi}{180}\) ，所以墨卡托投影就是将球面上的 \(P(\lambda , \varphi )\) 转换为平面直角坐标系 \(P' (x, y)\) ，即定义为下面的一个映射：

\[ f: P \rightarrow P' \]

那么则有函数 \(f_x\) 和 \(f_y\) ：

\[ \left\{ \begin{aligned} x &= f_x(\lambda , \varphi ) \\ y &= f_y(\lambda , \varphi ) \\ \end{aligned} \right. \]

如下图，图中由经纬线分割出的方块区域 \(\Box KPMQ\) 映射为 \(\Box K'P'M'Q'\) ，如果 \(P\) 和 \(Q\) 点足够近的话，那么 \(\Box KPMQ\) 可以近似为矩形。

\(P\) 的经纬度为 \([\lambda , \varphi ]\) ，相邻点 \(Q\) 的经纬度为 \([\lambda + \mathrm{d}\lambda , \varphi + \mathrm{d}\varphi]\) ，那么平行赤道的纬线所在圆的半径 \(r = R \cos \varphi\) ，则有圆弧：

\[ PM = r \times \mathrm{d} \lambda = R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda \]

，圆弧 \(PK = R \mathrm{d} \varphi\) 。投影变换后平面上的矩形长宽分别为 \(\mathrm{d} x\) 和 \(\mathrm{d} y\) 。

在变换后，在微观局部应该保持长宽比例不变，那么：

\[ \frac{R \cdot \mathrm{d} {\varphi}}{\mathrm{d} y} = \frac{R \cdot \cos \varphi \cdot \mathrm{d} \lambda }{\mathrm{d} x} \]

另外也可以根据墨卡托投影是等角投影⁴， \(\angle \alpha = \angle \beta\) ，则有：

\[ \tan \angle \alpha \approx \frac{PM}{QM} = \frac {R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda }{R \mathrm{d} \varphi } \]

\[ \tan \angle \beta = \frac{P'M'}{Q'M'} = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} \]

那么：

\[ \frac{R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda }{R \mathrm{d} \varphi } = \frac {\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y} \]

显然同一条经线上的点，变换到墨卡托之后横坐标相同，而横坐标的值就是赤道弧线划过的长度，所以 \(x = R \cdot \lambda\) ，那么 \(\mathrm{d} x = R \times \mathrm{d} \lambda\) 。

消掉 \(\mathrm{d} x\) 和 \(\mathrm{d} \lambda\) ，可得：

\[ \left \{ \begin{aligned} x'(\lambda ) &= R \\ y'(\varphi ) &= R \cdot \frac{1}{\cos \varphi } \cdot \mathrm{d} {\varphi} = R \sec \varphi \\ \end{aligned} \right. \]

对上式积分可得：

\[ \int \mathrm{d}y = R \int \frac{1}{ \cos \varphi} \mathrm{d}\varphi = R \int \sec \varphi \mathrm{d} \varphi = R \ln (\sec \varphi + \tan \varphi ) + C \]

可得：

\[ y = R \ln \tan (\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi }{2}) + C \]

根据初始条件可知 \(C = 0\) ，所以等角投影的公式：

\[ \left \{ \begin{aligned} x & = R(\lambda -\lambda _{0}) \\ y & = R \ln \left[ \tan \left ( {\frac {\pi }{4}} + {\frac {\varphi }{2}} \right ) \right ] \\ \end{aligned} \right. \]

等角航线

之前讲过墨卡托投影的地图上，经线投影成一组平行线，两地之间的等方位角曲线 (Rhumb line) ，在地图上是一条直线。航海家只需要保持方位角不变，不改变航线即可达到终点，所以在航海中得到广泛应用。但这条航线并不是两地之间的最短航线，我们知道球面上两点间最短距离是通过两点间大圆的劣弧，如下图所示。在航海或航空中，运用此特性而走最短距离的航线叫做大圆航线 (Great Circle Route) 。

参考文献