By Long Luo

昨天在B站看到一个数学视频¹ ，比较 \(2^{100!}\) 和 \(2^{100}!\) 的大小。直观感受就是这 \(2\) 个数都非常非常大，但哪个更大无法一眼看出来。

虽然指数爆炸，但阶乘实际上增长的速度比指数更快，如下图 1 所示：

可以看出阶乘图像 \(y = x!\) 实际上比指数 \(y = e^x\) 要快很多，而 \(y = x^x\) 是最快的。

但具体哪个更大呢？

这个问题有很多种方法，这里展示了 \(4\) 种方法。

对数放缩法

由于对数( \(\textit{Logarithm}\) ) ² 函数 \(y = \log_{a}{b}\) 当 \(a > 1\) 是单调递增函数，所以比较两个数大小时，可以通过比较两者对数值来实现大小比较。

两边同取对数 \(\log_{2}{x}\) ，

左边：

\[ A = \log_{2}{(2^{100!})} = 100! \]

右边：

\[ B = \log_{2}{2^{100}!} = \log_{2}{2^{100}} + \log_{2}{(2^{100} - 1)} + \dots + 1 + 0 \]

共有 \(2^{100}\) 项，值从 \(0\) 到 \(\log_{2}{2^{100}} = 100\) ，所以

\[ B < 100 \cdot 2^{100} < 128 \cdot 2^{100} = 2^7 \cdot 2^{100} = 2^{107} \]

综合上式，我们只需要比较 \(100!\) 和 \(2^{107}\) 的大小即可。

\(100!\) 至少有 \((100 - 64 + 1) = 37\) 项是大于等于 \(64 = 2^6\) ，也就是 \((2^6)^{37} = 2^{222}\) 。

显然可得 \(100! \gg 2^{222} \gg 2^{107}\) 。

故有虽然两个数都非常大，但 \(2^{100!}\) 仍然远远大于 \(2^{100}!\) 。

斯特林公式( \(\textit{Stirling's Approximation}\) )

由于存在阶乘，我们可以使用 斯特林公式( \(\textit{Stirling's Approximation}\) ) ³ 来估计。

\[ n! \sim \sqrt{2 \pi n}(\frac {n}{e})^n = \sqrt{2 \pi} n^{\frac {n + 1}{2}}e^{-n} \]

两边同取对数：

\[ \ln {n!} \sim \frac {1}{2} \ln (2 \pi) + (n + \frac {1}{2}) \ln (n) - n \]

根据上式，可见 \(n\) 足够大时，斯特林公式可以近似为：

\[ \ln (n!) \sim n(\ln (n) - 1) \]

则有：

\[ \begin{array}{l} A = \ln (2^{100!}) = 100! \ln (2) \\ B = \ln (2^{100}!) \sim 2^{100}(\ln (2^{100}) - 1) = 2^{100}(100 \ln (2) - 1) \end{array} \]

由于 \(2^{10} = 1024 \approx 10^3\) ，则有 \(2^{100} \approx 10^{30}\) , 那么 \(B \approx 10^{32} \ln (2)\) 。

很明显 \(100! \gg 10^{32}\) ，因此

\[ 2^{100!} \gg 2^{100}! \]

数列法

对于任意正整数 \(n\) ，比较 \(2^{n!}\) 和 \((2^n)!\) 的大小。

我们可以构建一个序列：

\[ F_n = \frac {2^{n!}}{(2^n)!} \]

只需要判断 \(F_n\) 是否大于 \(1\) 即可。

当 \(n = 1\) 时，

\[ F_1 = \frac {2^{1!}}{(2^1)!} = \frac {2^{1}}{(2)!} = \frac {2}{2} = 1 \]

当 \(n = k + 1\) 时，

\[ F_{k + 1} = \frac {2^{(k + 1)!}}{2^{k + 1}!} = F_k \cdot \frac {2^{(k + 1)! - k!}}{2^{k + 1} \cdot (2^{k + 1} - 1) \cdots (2^k + 1)} \]

分母中的阶乘项刚好是 \(2^n\) 项，每项取值范围 \([2^n, 2^{n+1}]\) ，所以分母取值范围： \(\left [ (2^n)^{2^n} = 2^{n2^n}, (2^{n + 1})^{2^n} = 2^{(n + 1)2^n} \right ]\) 。

所以：

1. 当 \((n + 1)! - n! < n2^n\) , \(A_{n+1} < A_n\) ；
2. 当 \((n + 1)! - n! > (n + 1)2^n\) , \(A_{n+1} > A_n\) 。

因为 \((n + 1)! - n! = (n + 1)n! - n! = n \cdot n!\) ，当 \(n > 2\) 时， \(n! > 2^n\) ，那么 \(n\) 大于某个值时， \(F_{n + 1} > F_n\) 。

简单计算下前 \(7\) 项的值：

\[ \begin{array}{l} F_2 = 0.25 \\ F_3 = 0.0015 \cdots \\ F_4 = 8.018 \cdots \times 10^{−7} \\ F_5 = 5.05 \cdots \\ F_6 = 4.34 \cdots \times 10^{127} \\ F_7 = 4.02 \cdots \times 10^{1301} \\ \end{array} \]

可以看出，

\[ A_{100} = A_7 \cdot \frac {8 \cdot 8!}{9 \cdot 2^8} \cdots \frac {100 \cdot 100!}{101 \cdot 2^{100}} \]

故 \(2^{100!}\) 比 \((2^{100})!\) 是超出想象的大。

简洁法

由图1显然 \(n! < n^n\) ，也很容易证明。

\(n! = 1 \times 2 \times \cdots n\) ，而 \(n^n = n \times n \times \cdots n\) 。

\(n > 2\) , \(n^n \gg n!\) 。

因此：

\[ B = (2^{100})! < (2^{100})^{2^{100}} = 2^{100 \cdot 2^{100}} \]

进一步放缩，由 \(100 < 128 = 2^7\) ，故有

\[ B = (2^{100})! < 2^{2^{107}} \]

很明显 \(2^{107} < 100!\) ！

这里用公因子方法来证明：

由于 \(100 = 2 \cdot 50 = 4 \cdot 25 \ge 8 \cdot 12 \ge 16 \cdot 6 \ge 32 \cdot 3 > 64\) ，可得：

\[ \begin{array}{l} 100! = 2^{50} \cdot 2^{25} \cdot 2^{12} \cdot 2^6 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3^{32} \cdots 5^{20} \cdots 11 \cdots 97 \\ = 2^{97} \cdot 11 \cdot 13 \cdots 97 \\ \gg 2^{10} \cdot 2^{97} = 2^{107} \\ \end{array} \]

所以 \(2^{100!} \gg (2^{100})!\) 。

参考文献