By Long Luo

在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 2010年江西高考数学压轴题 ，一道融合数论的难题。

今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。

第一问

观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

\[ \frac {1}{a_{n-1}} = \frac {2a_{n-1} + n - 1}{3na_{n-1}} \]

易得：

\[ \frac {1}{a_{n-1}} = \frac {2}{3n} + \frac{n - 1}{3n} \cdot \frac {1}{a_{n-1}} \label{1.1} \tag{1.1} \]

注意到上式 \(\eqref{1.1}\) 右边分母均有 \(n\) ，两边同乘 \(n\) 后消去之后有：

\[ \frac n{a_n} = \frac {2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{n-1}{a_{n-1}} \label{1.2} \tag{1.2} \]

设 \(b_n = \dfrac {n}{a_n}\) ，那么数列 \(\{ b_n \}\) 满足：

\[ b_n = \frac {2}{3} + b_{n-1} \label{1.3} \tag{1.3} \]

根据递推公式，利用不动点法 ¹ ，上式可以变形得到：

\[ b_n - 1 = \frac {1}{3}(b_{n-1} - 1) \label{1.4} \tag{1.4} \]

所以 \(\{ b_n - 1 \}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{3}\) 的等比数列，又由于该数列首项为 \(b_1 - 1 = -\dfrac {1}{3}\) ，因此 \(b_n = 1 - \left( \dfrac {1}{3} \right)^n\) ，所以​ \(\dfrac {n}{a_n} = -\dfrac1{3^n}\) ，所以数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式为：

\[ a_n = \frac {n \cdot 3^n}{3^n - 1} \quad (n \in N^*) \label{1.5} \tag{1.5} \]

第二问

将数列 \(\{ a_n \}\) 通项公式 \(\eqref{1.5}\) 代入， \(n!\) 可以被消掉，因此只需证明：

\[ \frac{3}{3-1} \cdot \frac{3^2}{3^2 - 1} \cdot \cdots \cdot \frac{3^n}{3^n - 1} < 2 \]

注意到上式为乘积形式，很容易想到对两边同取对数操作，即有：

\[ \ln \frac{3}{3 - 1} + \ln \frac{3^2}{3^2 - 1} + \cdots + \ln \frac{3^n}{3^n - 1} < \ln 2 \]

注意到对数中每一项都大于 \(1\) ，而且每一项减去 \(1\) 之后分子都变成 \(1\) 。利用常用不等式 ² 对数切线 \(\ln x \leq x - 1\) 进行放缩，即：

\[ \frac {3}{3-1} - 1 + \frac {3^2}{3^2-1} - 1 + \cdots + \frac{3^n}{3^n-1} - 1 = \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \cdots + \frac{1}{3^n-1} < \ln 2 \label{2.1} \tag{2.1} \]

当 \(n \to +\infty\) 时，分母 \(3^n - 1 \approx 3^n\) ，而利用等比数列求和公式，不难得到 \(\dfrac {1}{3^n}\) 前 \(n\) 项和为 \(\dfrac {1}{2} < \ln 2\) 。

但 \(\eqref{2.1}\) 左侧是大于 \(\dfrac {1}{2}\) ，还需要进一步放缩。考虑前几项分别为 \(\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{8}, \ \dfrac{1}{26}\) ，而 \(\ln 2 > 0.693\) 。

以第 2 项为首项，直接构造新等比数列，有

\[ \begin{aligned} \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \frac{1}{3^3-1} + \frac{1}{3^4-1} + \cdots + \frac{1}{3^n-1} & < \frac12 + \frac{1}{3^2 - 1}(1 + \frac13 + \frac1{3^2} + \cdots + \frac1{3^{n-2}}) \\ & < \frac12 + \frac{1}{8} \cdot \frac32 = \frac9{16} \\ & = 0.6875 \\ & < \ln 2 \end{aligned} \]

故原命题得证。

数学归纳法

对于第二问，也可以使用数学归纳法来证明。

\[ a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n = \frac{n!}{\left(1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right)} \]

为证 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) ，只要证 \(n \in \mathbb{N}^*\) 时有

\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) > \frac{1}{2} \]

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 \(n \in \mathbb{N}^*\)，有

\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} \right) \label{} \label{3.1} \tag{3.1} \]

用数学归纳法证明 \(\eqref{3.1}\) 式：

1. \(n = 1\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式显然成立；

2. 设 \(n = k\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式成立，即有：

\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^k} \right) \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) \]

3. 那么当 \(n = k + 1\) 时，

\[ \begin{aligned} & \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^k} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^{k+1}}\right) \\ & \ge \left[ 1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k}\right) \right] \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^{k+1}} \right) \\ & = 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) - \frac{1}{3^{k+1}} + \frac{1}{3^{k+1}} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) \\ & \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} + \frac{1}{3^{k+1}} \right) \end{aligned} \]

即当 \(n = k + 1\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式也成立。

故对一切 \(n \in \mathbb{N}^*\) ，\(\eqref{3.1}\) 式都成立。

利用 \(\eqref{3.1}\) 得，

\[ \begin{aligned} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) & \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} \right) \\ & = 1 - \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)}{1 - \frac{1}{3}} \\ & = 1 - \frac{1}{2} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n > \frac{1}{2} \end{aligned} \]

故原命题成立。

总结

在自己尝试做完这道题之后，我又测试了 AI 的解题能力，惊讶的发现现在 AI 解数学题能力非常强。

对于数列题，经常出现的是 \(a_{n+1}\) 与 \(a_n\) 的递推表达式，而当 \(a_{n-1}\) 出现在分母里，比如 \(a_n = \dfrac {ma_{n-1}}{na_{n-1} + p}\) 或者 \(a_n = \dfrac {P(a_{n-1})}{Q(a_{n-1})}\) ，如果取倒数的话，可以将数列的递推表达式从分式递推变成线性递推，从而找到数列的通项公式。

参考文献