By Long Luo

无论是家中的冰箱和空调，还是天上的飞机、水中的轮船、路上的汽车，它们本质上都属于热机 ¹。或许有人会疑惑：冰箱和空调明明是用电的，怎么能和烧油的归为一类呢？事实上，这些机器虽然形式各异，但原理上都涉及热能的转换。它们早已融入我们的日常生活，而对大多数人而言，知道它们是机器已经足够了。

人类一直以来都在努力提高机器的效率，从而更好的为我们服务。以汽车为例，目前汽油发动机的热效率大约为 \(30\%\) ，柴油机稍高一些，可达 \(40\%\) ，而电动机的效率则高达 \(90\%\) ，部分甚至可以达到 \(95\%\) 。为什么燃油发动机的效率远远低于电动机呢？主要原因在于电动机可以直接将电能转换为机械能，结构简单，损耗极少。而燃油发动机则涉及多个能量转换环节，结构复杂，损耗较大。

假如我们忽略燃油发动机的一切损耗，它的效率是否能达到 \(100\%\) 呢？我曾一度认为可以，但后来发现并非如此。要解答这个问题，我们需要先从水流谈起。

水轮机

把手放进流动的水中，我们可以明显感觉到水流的冲击力，水流越大越快，冲击力也就越大。人类很早就意识到了流水中蕴藏的能量，并用流水来驱动水车，用于灌溉、磨坊等，下图 1 所示为位于比利时一家磨坊的水车。水车虽好，但需要稳定的水流，旱季时水力不足，运转乏力甚至无法运行，如何才能一年四季不因雨量不同而影响水车运转呢？

答案很明显，修水坝，在雨季时把富余的水存储在高处，这样旱季时也能保证水车的正常运转。这一策略一直沿用了几千年，到现在无非就是大坝修得更高更好，水车换成了水轮机，驱动磨坊变成了发电而已。水在高处时，具有重力势能越大，但如果我们在高山湖泊中放置一台水车时，水车是不会转动的，因为湖泊中的水并不一定在流动，即使在流动，流速也很小，并不足以驱动水轮机。

只有当水从高处流向低处时，势能才能转化为动能，推动水轮机从而进行机械作功，实现能量的转化与利用。

从上图也可以看出，驱动水车的关键在于水的流动，而不在于水的多少。高山湖泊的水虽然重力势能很大，而且数量巨大，但是除非这些水从高处流下，否则并不能对外做功。

蒸汽机的诞生

虽然水车在历史上曾是重要的动力来源，能够替代部分人力或畜力，但它的局限性也十分明显。首先，水车只能安装在水流充足且地形适宜的地方，无法随意移动，限制了其适用范围；其次，它高度依赖稳定的水流，水流过快可能损坏结构，过慢则无法提供足够的动力。此外，水车的动力输出有限，难以满足高负荷需求，尤其是在工业化发展的背景下显得尤为不足。

随着人类生产力的提高，对更强大、更稳定的动力源的需求日益迫切。依靠人力、畜力以及水力的传统方式已难以支撑生产的发展。在这样的背景下，蒸汽机( \(\textit{Steam Engine}\) ) ² 应运而生，为人类提供了强大且可控的动力，推动了工业革命的进程，它的出现彻底改变了人类社会的生产方式，标志着人类正式迈入蒸汽时代，从而拉开了现代工业的序幕。

1712 年，托马斯·纽科门( \(\textit{Thomas Newcomen}\) ) ³ 发明了第一台实用蒸汽机，被称为纽卡门蒸汽机 ⁴ ，其原理如下图 4 所示。这种蒸汽机主要用于矿井排水，它的工作原理是利用蒸汽推动活塞上升，然后向汽缸内喷射冷水使蒸汽冷凝，形成真空，依靠大气压力推动活塞下行，从而带动水泵运行。这种蒸汽机可以有效解决矿井排水问题，但能耗极高，热效率不到 \(1\%\) 。

在大约 50 年后的 1769 年，詹姆斯·瓦特( \(\textit{James Watt}\) ) ⁵ 在研究纽卡门蒸汽机时，分析发现气缸每次循环中大约有四分之三的蒸汽热量被白白浪费，而且由于每次循环都向气缸内喷入冷水而不能连续工作。 于是他单独设计了一个冷凝装置，将蒸汽冷凝过程与汽缸加热分离，这样就不需要让汽缸的温度降到常温再重新加热，减少能量损失，大幅提升了蒸汽机的效率。瓦特蒸汽机 ⁶ 如下图5所示，其热效率是纽卡门蒸汽机的 \(3\) 倍，达到了 \(3\%\) 。

\(3\%\) 的效率仍然非常低下，这意味着 \(97\%\) 的燃料都白白浪费了，工程师们尝试了各种方法来提高蒸汽机的热效率，比如用酒精替代水、改进材料、优化结构或调整操作等方法。但这些方法主要依赖经验，缺乏系统性的理论指导，往往是通过反复试验和逐步改进来提高性能，而缺乏对蒸汽机工作原理的深入理解。因此，人们迫切希望找到更深层次的原理，揭示热能如何高效转换为机械能，从而在理论上指导蒸汽机的优化设计，并为未来热机的发展提供科学依据。

如何提高蒸汽机的效率？

1824 年，一位年轻的法国工程师卡诺 ( \(\textit{Sadi Carnot}\) ) ⁷试图回答有关热机的两个问题：“热机效率是否有上限？”和“是否有其他一些更理想的工作液体或气体取代蒸汽来加热引擎？”，他意识到，要回答这些问题，必须从热的本质和能量转换的规律入手。在卡诺发表他的著作《论火的动力》的 1824 年，当时流行的是热质说，认为热是一种物质，物体的冷热由物体所含热质的多少决定，热质会在不同温度的物体间流动。这时构成热力学( \(\textit{Thermodynamics}\) ) ⁸ 大厦的热力学第一定律⁹ 和热力学第二定律 ¹⁰ 都未建立。

即便如此，卡诺却抓住了热机的本质：热机是否工作关键在于热质在工作介质之中的流动。当然卡诺这个想法来源于他的父亲，卡诺父亲拉扎尔·卡诺( \(\textit{Lazare Carnot}\) )是当时法国著名的数学家和工程师，深入研究过水轮机及如何提升水轮机效率。在第一章中我们知道水轮机的关键在于水的流动，只有水流动起来才能驱动水轮机运转。类比到热机，那就需要让热质流动起来，而显然需要温度差才能让热质流动起来。

卡诺对热机大大简化，设想了一种理想化的热机模型( \(\textit{Heat Engine}\) )，即卡诺热机( \(\textit{Carnot Heat Engine}\) ) ¹¹，用以分析热机的最大可能效率，而与具体工作物质无关。热质从高温热源传递到工作系统中，一部分通过做功转化为机械能，另一部分传到低温热源，构成卡诺循环( \(\textit{Carnot Cycle}\) ) ¹² 。

卡诺将理想热机抽象成这样一个简化模型：理想气体被封闭在一个可移动活塞的气缸中，活塞与气缸内壁可以没有摩擦地来回移动，活塞和气缸都是绝热的，在气缸外有一个恒温的高温热源 \(T_H\) 和一个恒温的低温热源 \(T_C\) 。

卡诺热机运行在一个封闭的卡诺循环( \(\textit{Carnot Cycle}\) )内，在循环中理想气体依次经过恒温可逆膨胀，绝热可逆膨胀，恒温可逆压缩，绝热可逆压缩四步 ¹³ ，从状态一恢复到状态一，用 PV 图绘制出来如下图 6 所示：

下面我们来一一分析这 \(4\) 个步骤：

等温可逆膨胀(Isothermal Expansion)

第一步中( \(A \to B\) )理想气体在温度 \(T_H\) 下的等温可逆膨胀，如下图 7 所示：

此步骤中气体温度不变，内能不变 $U = 0 $ ，对外气体膨胀，通过从高温热源吸收热能 \(Q_H\) 并对外做功：

\[ \Delta U_1 = \overbrace{W_1}^{<0} + \overbrace{Q_1}^{>0} = 0 \Rightarrow Q_1 = -W_1 \tag{1} \label{1} \]

根据理想气体状态方程，则有：

\[ W_1 = \int_{V_A}^{V_B} - PdV = -nRT_H \int_{V_A}^{V_B} \frac{dV}V \tag{2} \label{2} \]

气体体积从 \(V_A\) 膨胀到 \(V_B\) ，可得：

\[ \begin{aligned} Q_1 & = \left| Q_H \right| = nRT_H \overbrace{\ln \frac{V_B}{V_A}}^{>0 \text{ since } V_B > V_A} > 0, \\ W_1 & = -Q_1 = - nRT_H \ln \frac{V_B}{V_A} < 0, \end{aligned} \tag{3} \label{3} \]

在第一阶段中系统从高温热源中吸收了 \(\left| Q_H \right|\) 的热量。

绝热可逆膨胀(Adiabatic Expansion)

第二步中( \(B \to C\) )脱离高温热源，与外界无热量交换，理想气体在绝热情况下可逆膨胀，如下图 8 所示：

在此步骤中，理想气体继续膨胀，对外做功，并失去等量的内能，温度降低至冷源温度 \(T_C\) ，则有：

\[ Q_2 = 0 \Rightarrow \Delta U_2 = W_2 \tag{4} \label{4} \]

气体不与外界交换热量，内能变化全部转化为对外做功：

\[ \Delta U_2 = W_2 = n \underbrace{ \int_{T_H}^{T_C} C_V \mathrm{d}T}_{< 0 \text{ since } T_C < T_H} < 0 \tag{5} \label{5} \]

这里 \(C_V\) 表示定容热容（恒定体积下的比热容）。

等温可逆压缩(Isothermal Compression)

第三步中( \(C \to D\) )中理想气体与低温热源接触，发生等温可逆压缩，如下图 9 所示：

在此步骤中，由于温度保持恒定，气体内能不变 $U = 0 $ ，外界对气体做功全部转化为热量 \(Q_C\) ，并传递给冷源：

\[ \Delta U_3 = \overbrace{W_3}^{>0} + \overbrace{Q_3}^{<0} = 0 \Rightarrow Q_3 = -W_3, \tag{6} \label{6} \]

和方程 \(\eqref{2}\) 相同，只是在这里是压缩气体，可得：

\[ \begin{aligned} Q_3 & = \left| Q_C \right| = nRT_C \overbrace{\ln \frac{V_D}{V_C}}^{<0 \text{ since } V_D < V_C} < 0 , \\ W_3 & = -Q_3 = - nRT_C \ln \frac{V_D}{V_C} > 0, \end{aligned} \tag{7} \label{7} \]

在这一步中系统将 \(\left| Q_C \right|\) 的热量传递给低温热源。

绝热可逆压缩(Adiabatic Compression)

第四步中( \(D \to A\) )中理想气体离开低温热源，发生绝热可逆压缩，如下图 10 所示：

在循环的最后一步中，气体与外界无热交换，但外界对气体做功，使气体的温度和压力上升，最终温度回到高温热源温度 \(T_H\) ，此时气体处于与步骤 \(A\) 时相同的状态，有：

\[ Q_4 = 0 \Rightarrow \Delta U_4 = W_4 \tag{8} \label{8} \]

外界做功全部转化为气体内能增加：

\[ \Delta U_4 = W_4 = n \underbrace{ \int_{T_C}^{T_H} C_V \mathrm{d}T}_{>0 \text{ since } T_H > T_C} > 0 \tag{9} \label{9} \]

同时明显可得 \(\Delta U_4 = - \Delta U_2\) 。

卡诺热机效率

综合上面循环过程，在一个卡诺循环过程中，整体能量变化：

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{total}} & = \Delta U_1 + \Delta U_2 + \Delta U_3 + \Delta U_4 \\ & = 0 + n \int_{T_H}^{T_C} C_V \mathrm{d}T + 0 + n \int_{T_C}^{T_H} C_V \mathrm{d}T \\ & = n \int_{T_H}^{T_C} C_V \mathrm{d}T - n \int_{T_H}^{T_C} C_V \mathrm{d}T = 0 \\ \end{aligned} \tag{10} \label{10} \]

实际上不需要计算也知道内能变化为 \(0\) ，因为内能是状态函数， \(\oint \mathrm{d}U = 0\) 。虽然能量变化为 \(0\) ，但因为功 \(W\) 和热 \(Q\) 都是路径函数，所以一个循环中功和热却并不为 \(0\) ，故有：

\[ \begin{aligned} W_{\text{total}} & = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 \\ & = - nRT_H \ln \frac{V_B}{V_A} + n \int_{T_H}^{T_C} C_V \mathrm{d}T - nRT_C \ln \frac{V_D}{V_C} + n \int_{T_C}^{T_H} C_V \mathrm{d}T \\ & = - nRT_H \ln \frac{V_B}{V_A} - n RT_C \ln \frac{V_D}{V_C}, \\ \end{aligned} \tag{11} \label{11} \]

根据理想气体绝热可逆过程 ¹⁴：

\[ \begin{aligned} P^{1 - \gamma }T^{\gamma } & = \text{constant} \\ TV^{\gamma -1} & = \text{constant} \end{aligned} \tag{12} \label{12} \]

我们有：

\[ \begin{aligned} T_1V_2^{\gamma-1} & = T_2V_3^{\gamma-1} \\ T_1V_1^{\gamma-1} & = T_2V_4^{\gamma-1} \end{aligned} \tag{13} \label{13} \]

两式相比得到下式：

\[ \frac{V_A}{V_B} = \frac{V_D}{V_C} \tag{14} \label{14} \]

将 \(\eqref{14}\) 代入 \(\eqref{11}\) 式中，化简可得：

\[ W_{\text{total}} = - nR \left( T_H - T_C \right) \ln \frac{V_B}{V_A} < 0 \tag{15} \label{15} \]

从上式可知，计算得到的功为负值，说明系统对外做功。而根据能量守恒定律，这个功来自高温热源对低温热源的传热，即有：

\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} & = Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 \\ & = Q_H + 0 + Q_C + 0 \\ & = nRT_H \ln \frac{V_B}{V_A} + nRT_C \ln \frac{V_D}{V_C} \\ & = nR \left( T_H - T_C \right) \ln \frac{V_B}{V_A} = -W_{\text{total}} \end{aligned} \tag{16} \label{16} \]

稍微简化下，可得：

\[ W_{\text{total}} = -(Q_1 + Q_3) \tag{17} \label{17} \]

由 \(\eqref{3}\) 和 \(\eqref{7}\) 可得，

\[ \left| W_{\text{total}} \right| = \left| Q_H \right| - \left| Q_C \right| \tag{18} \label{18} \]

从上式 \(\eqref{18}\) 可知，从高温热源吸收的热大于传递给低温热源的热。

根据热机效率定义，一个循环做功绝对值 \(\left| W_{\text{TOT}} \right|\) 和系统从外界吸收热量绝对值 \(\left| Q_H \right|\) 之比，可以得到卡诺热机效率的表达式：

\[ \eta = \frac{\left| W_{\text{total}} \right|}{\left| Q_H \right|} = \frac{-W_{\text{total}}}{Q_C} \tag{19} \label{19} \]

因为功是对于热机系统来说，热机对环境做功为负，所以出现了负号。在热机效率计算中，热机对外做功才是环境得到的功除以热机得到的热量即为热机效率，将 \(\eqref{17}\) 代入 \(\eqref{19}\) 式中，可得：

\[ \eta = \frac{Q_3 + Q_1}{Q_1} = 1 + \frac{Q_3}{Q_1} \tag{20} \label{20} \]

将 \(\eqref{3}\) 和 \(\eqref{7}\) 代入 \(\eqref{20}\) 式中，化简可得：

\[ \eta = \frac{nR \left( T_H - T_C \right) \ln V_B/V_A}{nRT_H \ln V_B/V_A} = \frac{T_H - T_C}{T_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H} < 1 \tag{21} \label{21} \]

上式 \(\eqref{21}\) 即为卡诺热机效率，从公式中我们也可以看出卡诺热机效率是严格小于 \(1\) 的，仅由两个热源的温度决定，而与具体的工作介质无关，也是热机所能达到的最大效率，也叫卡诺效率 ¹⁵。

总结

机械能可以全部转化为热能，反过来却不可以，这是为什么呢？曹泽贤老师说热力学原理可以总结为一句大白话：不以做功为目的的传热都是浪费 ¹⁶。由文章中推导，我们也可以看出，热机永远都只能利用传热中的一部分做功，废热是不可避免的。课本上会说，因为热能是无序的能量，机械能是有序的。那什么是有序，什么是无序？下篇我们将学习热力学第二定律，找到答案。

参考文献