By Long Luo

2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) ¹ 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。

如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。

分析

第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) ² 可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 ³，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。

第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 ⁴ 证明该性质在正整数范围内均成立。

第一问

设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\)（\(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有：

\[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

根据有理数在四则运算下具有封闭性，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。

第二问

1. 当 \(n = 1\) 时，由第一问已经证明 \(\cos A\) 是有理数；

2. 当 \(n = 2\) 时，\(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\) ，因为 \(\cos A\) 是有理数，所以 \(\cos 2A\) 也是有理数；

3. 假设当 \(n \leq k \ (k \geq 2)\) 时，结论成立，即 \(\cos kA\) 、\(\cos (k-1)A\) 均是有理数。

当 \(n = k + 1\) 时，

\[ \begin{aligned} \cos (k+1)A & = \cos kA \cos A - \sin kA \sin A \\ & = \cos kA \cos A - \frac {1}{2} \left[ \cos(kA - A) - \cos(kA + A) \right] \\ & = \cos kA \cos A - \frac {1}{2} \cos(k-1)A + \frac {1}{2} \cos(k+1)A \end{aligned} \]

解得：

\[ \cos (k+1)A = 2 \cos kA \cos A - \cos (k-1)A \]

因为 \(\cos A, \ \cos kA, \ \cos (k-1)A\) 均是有理数， \(2 \cos kA \cos A - \cos (k - 1)A\) 是有理数，所以 \(\cos (k + 1)A\) 是有理数。

即当 \(n = k + 1\) 时，结论成立。

综上所述，对于任意正整数 \(n\) ， \(\cos nA\) 是有理数。

总结

这道题如果了解有理数的封闭性的话，非常容易。

参考文献