By Long Luo

數學題中個人比較喜歡數列與不等式結合的題目，這類題主要對遞推關係的觀察、數列分析、不等式放縮和解題思路的構造都有較高要求，能體會到數學樂趣。今天來挑戰一道2011年清華大學自主招生數學試題中的數列大題，這道題本身計算量不大，難度中等。本文將詳細分析這道數列題的解題過程，希望能夠幫助讀者直觀理解這類題目的解題思路。

第一問

解：由 \(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

易得：\(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表達式為：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

數學歸納法

我們可以使用數學歸納法來證明數列 \(\{ x_n \}\) 通項公式是 \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) ：

1. 當 \(n = 1\) ， \(x_1 = \dfrac {1}{2}\) 顯然成立；

2. 假設 \(n = k\) 時成立，即 \(x_k = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-1} + 1}\) ，則有：

\[ x_{k+1} = f(x_k) = \frac{2x_k}{x_k + 1} = \frac{2^k}{2^k + 1} \]

綜合 1，2 即對於 \(n \in \mathbb{N}^*\) 數列 \(\{ x_n \}\) 通項公式為 \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) 。

遞推法

觀察遞推表達式 \(\eqref{1.1}\) ， 參考之前文章方法 2006年江西高考理科數學數列壓軸題解析 ，可以對 \(\eqref{1.1}\) 兩邊取倒數則有：

\[ \frac {1}{x_{n+1}} = \frac {1}{2} + \frac{1}{2x_n} \]

適當變形：

\[ \frac {1}{x_{n+1}} - 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{1}{x_n} - 1 \right) \]

故數列 \(\{ \dfrac{1}{x_n} - 1 \}\) 是公比為 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比數列，數列首項為 \(1\) ，因此 \(\dfrac{1}{x_n} - 1 = \dfrac {1}{2^{n-1}}\) ，所以數列 \(\{ x_n \}\) 的通項公式為： \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) 。

第二問

將數列 \(\{ x_n \}\) 代入有：

\[ x_1x_2 \cdots x_{n+1} = \frac {1}{2} \cdot \frac {2^1}{2^1 + 1} \cdot \frac{2^2}{2^2 + 1} \cdots \frac{2^n}{2^n + 1} > \frac{1}{2e} \]

只需要證明

\[ \frac {1}{1 + 2^{-1}} \cdot \frac {1}{1 + 2^{-2}} \cdots \frac{1}{1 + 2^{-n}} > \frac {1}{e} \]

兩邊同取對數，則有：

\[ \ln \frac {1}{1 + 2^{-1}} + \ln \frac {1}{1 + 2^{-2}} + \cdots + \ln \frac{1}{1 + 2^{-n}} > -1 \]

適當變形可得：

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < 1 \]

根據常用不等式 \(\ln (1 + x) < x, \ (x > 0)\) ，有：

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < \sum_{k = 1}^{n}2^{-k} < \sum_{k = 1}^{+\infty}2^{-k} = 1 \]

故原命題得證。

伯努利不等式( \(\textit{Bernoulli's inequality}\) )

除了取對數法，還可以使用伯努利不等式( \(\textit{Bernoulli's inequality}\) ) ¹ 來進行放縮。

需要證明 \(\dfrac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2e\) ，存在：

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) \]

由伯努利不等式，對任意整數 \(n \geq 1\) ，和任意實數 \(x \geq -1\) 有：

\[ (1+x)^{n} \geq 1 + nx； \]

於是有：

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^{n-1} + \cdots + 2 + 1} \]

根據自然常數 \(e\) ² 的定義 \(e = \lim _{n \to \infty}\left( 1 + \dfrac {1}{n} \right)^n\) ，易得：

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n - 1} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n} < 2e. \]

總結

這道題第一問主要是考察數列取倒數分析遞推公式，第二問考察自然常數 \(e\) 的定義及常見不等式的應用，難度不大。

參考文獻