By Long Luo

수학 문제에서는 개인적으로 수열과 부등식이 결합된 문제를 선호합니다. 이런 문제는 주로 순환 관계의 관찰, 수열 분석, 부등식의 확대 및 축소와 해결 방법의 구성에 높은 요구를 하며, 수학의 즐거움을 느낄 수 있습니다. 오늘은 2011년 Tsinghua University 자체 모집 수학 문제 중의 수열 대제를 도전해 보겠습니다. 이 문제 자체 계산량은 크지 않고, 난이도는 중간 수준입니다. 본 글에서는 이 수열 문제의 해결 과정을 상세히 분석하여 독자들이 이런 문제의 해결 방법을 직관적으로 이해할 수 있도록 돕고자 합니다.

첫 번째 질문

해답：그릇으로\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 이면：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

에서 쉽게 알 수 있듯이：\(a = 1, \ b = 1\) 이므로 \(f(x)\) 의 식은 다음과 같습니다：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

수학적 귀납법

수학적 귀납법을 사용하여 수열을 증명할 수 있다\(\{ x_n \}\)일반항 공식은\(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)：

1. 때문에\(n = 1\),\(x_1 = \dfrac {1}{2}\)분명히 성립합니다;

2. 가정하면\(n = k\)설립 시, 즉\(x_k = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-1} + 1}\), 그러면:

\[ x_{k+1} = f(x_k) = \frac{2x_k}{x_k + 1} = \frac{2^k}{2^k + 1} \]

종합 1, 2 즉,\(n \in \mathbb{N}^*\)수열\(\{ x_n \}\)일반항 공식은\(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)。

재귀법

재귀식을 관찰합니다\((\eqref{1.1})\), 이전 기사 방법 참조2006년 지경고사 문과 수학 등급문제 해설, 가능합니다\((\eqref{1.1})\)양쪽에 역수를 취하면 다음과 같습니다:

\[ \frac {1}{x_{n+1}} = \frac {1}{2} + \frac{1}{2x_n} \]

적절한 변형:

\[ \frac {1}{x_{n+1}} - 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{1}{x_n} - 1 \right) \]

그러므로 수열\( \{ \frac{1}{x_n} - 1 \} \)는 공비가 (\(\dfrac{1}{2}\))인 등비수열이며, 수열의 첫 항은 \(1\)이므로, \(\dfrac{1}{x_n} - 1 = \dfrac {1}{2^{n-1}}\)이므로, 수열 \(\{ x_n \}\)의 일반항 공식은 \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)입니다.

두 번째 질문

은 수열을({ x_n })를 대입하면:

[ x_1x_2 ⋅⋅⋅x_{n+1} = \frac {1}{2} ⋅ \frac {2^1}{2^1 + 1} ⋅ \frac{2^2}{2^2 + 1} ⋅⋅⋅ \frac{2^n}{2^n + 1} > \frac{1}{2e} ]

는

[ \frac {1}{1 + 2^{-1}} ⋅ \frac {1}{1 + 2^{-2}} ⋅⋅⋅ \frac{1}{1 + 2^{-n}} > \frac {1}{e} ]__를 증명하는 것만 필요합니다.

의 양변에 로그를 취하면 다음과 같습니다:

\[ \ln \frac {1}{1 + 2^{-1}} + \ln \frac {1}{1 + 2^{-2}} + \cdots + \ln \frac{1}{1 + 2^{-n}} > -1 \]

적절한 변형을 통해 다음을 얻을 수 있습니다:

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < 1 \]

일반적인不等식 \(\ln (1 + x) < x, \ (x > 0)\) ，有：

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < \sum_{k = 1}^{n}2^{-k} < \sum_{k = 1}^{+\infty}2^{-k} = 1 \]

故原命题得证。

伯努利不等式((\textit{Bernoulli's inequality}) )

로그를 취하는 방법 외에도, 베르누이不等式( (\textit{Bernoulli's inequality}) ) ¹를 사용하여 확장 또는 축소할 수 있습니다.

증명해야 합니다 \(\dfrac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2e\) , 존재합니다:

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) \]

볼록 함수의 성질에 따라, 임의의 정수 \(n \geq 1\)과 임의의 실수 \(x \geq -1\)에 대해 다음이 성립합니다:

\[ (1+x)^{n} \geq 1 + nx； \]

따라서 다음이 성립합니다:

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^{n-1} + \cdots + 2 + 1} \]

자연상수\(e\) ²의 정의\(e = \lim _{n \to \infty}\left( 1 + \dfrac {1}{n} \right)^n\) , 쉽게 얻는다:

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n - 1} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n} < 2e. \]

요약

이 문제의 첫 번째 질문은 주로 수열의 역수 분석을 통해 재귀 공식을 평가하는 것을 중심으로 한다. 두 번째 질문은 자연 상수 \(e\)를 평가한다.의 정의 및 흔한 부등식의 응용은 어렵지 않습니다.

참고문헌