陸龍

数学の問題で個人的に数列と不等式を組み合わせた問題が好きです。この種の問題は、再帰関係の観察、数列の分析、不等式の拡大・縮小、そして解き方の構築に対して高い要求を持ち、数学の楽しさを感じることができます。今日は、2011年の清華大学自主招生数学試験の数列の大問に挑戦してみましょう。この問題自体の計算量は多くなく、難易度は中程度です。本稿では、この数列問題の解き方を詳細に分析し、読者にこの種の問題の解き方を直感的に理解する手助けをできるようにします。

第一問

解：由\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) から：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

より：\(a = 1, \ b = 1\) なので、\(f(x)\) の式は：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

であると推測できます。

数学的帰納法__JHSNS_SEG_84a864de_44__ 数学的帰納法を使って、数列を証明できます。\(\{ x_n \}\)通項式は\(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)：

1. 当\(n = 1\)、\(x_1 = \dfrac {1}{2}\)明らかに成り立つ；

2. 仮定\(n = k\)時成立、即\(x_k = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-1} + 1}\)、では：

\[ x_{k+1} = f(x_k) = \frac{2x_k}{x_k + 1} = \frac{2^k}{2^k + 1} \]

1と2を合わせると\(n \in \mathbb{N}^*\)数列\(\{ x_n \}\)通項式は\(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)。

漸化法

再帰式を観察する(1.1式)、前回の記事の方法を参考に2006年江西省の大学入試理科数学の数列の難問の解説、対応可能です\(\eqref{1.1}\)両辺に逆数を取れば：

\[ \frac {1}{x_{n+1}} = \frac {1}{2} + \frac{1}{2x_n} \]

適切な変形：

\[ \frac {1}{x_{n+1}} - 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{1}{x_n} - 1 \right) \]

それで数列\( \{ \frac{1}{x_n} - 1 \} \)公比です\( \frac{1}{2} \)等比数列、数列の初項は\(1\)、それで\(x_n の 1 で割ったものから 1 を引くと、2 の n-1 乗で割ったものになる\)、だから数列\(\{ x_n \}\)通項式は：\(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\)。

二問

数列を（{ x_n }）を代入すると：

[ x_1x_2 \cdots x_{n+1} = \frac {1}{2} \cdot \frac {2^1}{2^1 + 1} \cdot \frac{2^2}{2^2 + 1} \cdots \frac{2^n}{2^n + 1} > \frac{1}{2e} ]

は

[ \frac {1}{1 + 2^{-1}} \cdot \frac {1}{1 + 2^{-2}} \cdots \frac{1}{1 + 2^{-n}} > \frac {1}{e} ]__を証明するだけでよい

の両辺に対数を取ると、

\[ \ln \frac {1}{1 + 2^{-1}} + \ln \frac {1}{1 + 2^{-2}} + \cdots + \ln \frac{1}{1 + 2^{-n}} > -1 \]

を適当に変形すると、

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < 1 \]

常用不等式\(\ln (1 + x) < x, \ (x > 0)\) ，有：

\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < \sum_{k = 1}^{n}2^{-k} < \sum_{k = 1}^{+\infty}2^{-k} = 1 \]

故原命題得證。

Bernoulli不等式(（ベルヌーイの不等式））

対数を取る方法以外にも、ベルヌーイの不等式（（ベルヌーイの不等式））¹を使って放縮することができます。

証明する必要があります\(\dfrac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2e\)、存在します：

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) \]

は、Bernoulli不等式により、任意の整数\(n \geq 1\)と任意の実数\(x \geq -1\)に対して、

\[ (1+x)^{n} \geq 1 + nx； \]

従って、

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^{n-1} + \cdots + 2 + 1} \]

自然定数\(e\) ²の定義\(e = \lim _{n \to \infty}\left( 1 + \dfrac {1}{n} \right)^n\) は容易である：

\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n - 1} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n} < 2e. \]

まとめ

この問題の第一問は主に数列の逆数を分析して再帰公式を考察することを試すもので、第二問は自然定数\(e\)を考察するものである。 の定義及び一般的な不等式の応用は難しくありません。

参考文献