前段时间在 V2EX 的一个帖子 /t/943948 中看到了一个有趣的问题：

在中文的亲属称谓体系中，我们会有“爸爸的爷爷”与“爷爷的爸爸”是同一个人，即“爸爸”和“爷爷”这两个称谓是可交换的。那么是否可以找到一个准则，以归纳所有这样的可交换称谓对？

欲解决这个问题，我们可以先使用群论对亲属关系进行建模，在此基础上分析其代数结构，进而得出亲属关系可交换的条件。本系列期用两篇博文阐述这一理论。此为其第一篇，将介绍亲属半群的建立以及该代数结构的相关性质。

同/长辈亲属集合 $\mathcal{Z}$

在开始研究亲属关系之前，我们需要明确“亲属关系”一词所指代的范围。

不同于英文语境，中文对家族中的亲属关系有着非常细致的划分。在学术上这套亲属术语被称为苏丹型系统，需要考虑更多的可能性。本系列只关注中文语境下同辈以及长辈的亲属关系，同时采用较为宽松的等价关系，将某些差别不大的亲属关系视为同一种，以降低讨论的复杂度。

具体而言，我们定义同/长辈亲属集合 $\mathcal{Z}$。$\mathcal{Z}$ 中将包含大部分的同辈称呼，如配偶、兄弟姐妹，以及更远的姐夫、弟妹等；$\mathcal{Z}$ 中也将包含所有的长辈称呼，包括父母、爷爷奶奶，以及叔嫂婶丈等。为此，我们对 $\mathcal{Z}$ 作出如下的生成式定义：

1. $自身 \in \mathcal{Z}$；
2. $n \in \mathbb{Z}^+$，$z_1, z_2, \ldots, z_n \in \{父亲，配偶，兄弟，姐妹\}$，则 $z_1 的 z_2 的\ldots 的 z_n \in \mathcal{Z}$。

其次，本文在考究两个称谓的等价性时，仅关注其在家族树上的位置，而忽略年龄的因素。这意味着：

• $\mathcal{Z}$ 中的元素虽然形如“什么的什么”，但如果某个日常生活中的称呼与其中一者等价，则该称呼也被视为 $\mathcal{Z}$ 中的一员。如“爷爷”也是“爸爸的爸爸”，故有 $爷爷 \in \mathcal{Z}$。
• 如果两个称谓的在家族树上的位置相同，仅凭年龄对立，本文将其视为集合 $\mathcal{Z}$ 中的同一个元素。例如，兄和弟、姐和妹、叔和伯在 $\mathcal{Z}$ 中皆为一个元素。
• 本文不着眼于某个具体的家族，而是讨论普遍意义下的亲属关系。也许在你的家族中，你的父亲没有兄弟，但在本文中，叔伯总是 $\mathcal{Z}$ 里一个合法的元素。
• 本文将忽略一些合乎道德的巧合。比如你的姐姐的配偶可能是你的哥哥的配偶的哥哥——这合乎道德，但是本文不认为这两个称谓是等价的。

此外，我们将如下集合 $\mathcal{Z}_*$ 称为 $\mathcal{Z}$ 的基本元集

$$\mathcal{Z}_*=\{自身，父亲，兄弟，姐妹，配偶\}$$

同时为了方便起见，我们简记 $E=自身$，$F=父亲$，$B=兄弟$，$S=姐妹$ 以及 $W=配偶$。

称谓结合运算 $\odot$

为了让集合 $\mathcal{Z}$ 呈现某种代数结构，我们还需引入其上的运算。一个很自然的想法便是把“的”抽象为运算，为此我们有

定义 1 (称谓结合运算)  设 $z_1,z_2,z_3 \in \mathcal{Z}$ 为三个亲属称谓，如果“$z_1$ 的 $z_2$”在前述的等价关系下与 $z_3$ 等价，则记 $z_3=z_1\odot z_2$。$\odot$ 被称为“称谓结合运算”。$\blacksquare$

为确保 $\odot$ 是定义良好的，我们必须消除某些情形下的多义性，从而 $z_1\odot z_2$ 只有至多一个结果。在现实中，如果 $z$ 为男性，则“$z$ 的兄弟的兄弟”可能是“$z$ 的兄弟”或是 $z$ 自身。本文则规定“$z$ 的兄弟的兄弟”仍是“$z$ 的兄弟”，而忽略另一义项。这种规定会影响如“亲属称谓简化”等其他问题，但不会影响这个系列所探讨的可交换性问题。相似地，我们对“姐妹”也作同样处理。

有了良定的映射 $\odot$，我们可以进一步结合 $\mathcal{Z}$ 的定义知 $\odot$ 在其上是封闭的，进而 $\odot$ 是 $\mathcal{Z}$ 上合法的二元运算。事实上，我们还有

定理 1  集合 $\mathcal{Z}$ 是 $\mathcal{Z}_*$ 的有限生成。$\blacksquare$

这也是“基本元集”起名的由来。接下来，我们可以讨论运算 $\odot$ 的一些性质。

$\odot$ 的结合性与 $\mathcal{Z}$ 半群

若期望在 $\mathcal{Z}$ 上进行代数演算，$\odot$ 的性质不能太差，比如至少要有结合性 $(z_1 \odot z_2) \odot z_3 = z_1 \odot (z_2 \odot z_3)$。

那么，$\odot$ 是否有符合结合律呢？由于 $\mathcal{Z}$ 是 $\mathcal{Z}_*$ 的有限生成，我们只需验证 $\odot$ 在 $\mathcal{Z}_*$ 上的结合性即可。为此，我们可以先列出五个基本元两两间的乘法表

借助这张乘法表，读者容易验证任意三个基本元之间 $\odot$ 运算的结合性，此处不展开阐述。于此，我们知道 $\odot$ 是 $\mathcal{Z}$ 上的一个结合性运算，从而 $\mathcal{Z}$ 在运算 $\odot$ 下构成一个半群。

除此之外，从表中我们还能发现 $E$ 是一个特殊的元。任何元素 $z \in \mathcal{Z}$ 与 $E$ （左或右）运算的结果皆为 $z$ 自身。于是，$\mathcal{Z}$ 还是一个含幺半群，其幺元为 $E$。在含幺半群中，我们可以良好地定义元素的方幂

定义 2 (方幂)  若 $n \in \mathbb{Z}^+, z \in \mathcal{Z}$，则定义

$$z^n=z \odot z \odot \ldots \odot z\quad (n 个)$$

特别地，我们定义 $z^0=E$。$\blacksquare$

为了方便起见，下文会将 $z_1 \odot z_2$ 简记为 $z_1z_2$，就像我们熟悉的乘法一样。

$\mathcal{Z}$ 半群的经验性质

在这一节中，我将介绍 $\mathcal{Z}$ 半群的一些经验性质。这些性质派生自人们普遍认同的对亲属关系的理解，是 $\mathcal{Z}$ 的内在结构。后续定理的证明会用到这些性质。

首先，亲属关系的讨论应该是与起点无关的。如果一条关于亲属关系的断言成立，并且这条断言的起点是“自身”，那么将“自身”换成其他 $z \in \mathcal{Z}$ 也应该同样成立。这对我们后续的讨论很重要。现在让我们来考虑一条平凡的断言——“假设 $z_1$ 和 $z_2$ 是两个亲属关系，如果‘自身的 $z_1$’与‘自身的 $z_2$’等价，则 $z_1$ 与 $z_2$ 等价”。使用上述替换，我们将得到 $\mathcal{Z}$ 中一个重要的准则

性质 1 (左消去律)  $\forall z,z_1,z_2\in\mathcal{Z}$，$zz_1=zz_2 \Longrightarrow z_1=z_2$。$\blacksquare$

这有点像数域中的“在等式两边同除某个数，等式依然不变”，但在 $\mathcal{Z}$ 中，只有两项左边部分相同时才能这么做。

其次，我们可以将亲属关系中“辈分”这一概念抽象化。由于基本元集 $\mathcal{Z}_*$ 中只有 $F$ 父亲一项对辈分有贡献，一个亲属关系的辈分很自然地被定义为其中 $F$ 的数目

定义 3 (辈分数)  设 $z \in \mathcal{Z}$，若存在 $a_1,a_2,\ldots,a_n \in \mathcal{Z}_*$，使得 $z=a_1 a_2 \ldots a_n$，则定义以下 $G(z)$ 为 $z$ 的辈分数： $G(z) = | \{ i : a_i = F \} |$。$\blacksquare$

注意到 $G(z)$ 的定义与 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 的具体选取无关——换言之，一个亲属关系的不同分解中 $F$ 的个数都是相同的。于是我们有

性质 2 (辈分定理)  $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_m\in\mathcal{Z}_*$，若有

$$a_1a_2\ldots a_n=b_1b_2\ldots b_m$$

则有 $G(a_1a_2\ldots a_n)=G(b_1b_2\ldots b_m)$。$\blacksquare$

除此之外，我们还可以将伦理关系纳入讨论。考虑一个同辈的基本元 $a \in \{B,S,E\}$，其配偶 $aW$ 的家族通常而言不会与我们父系的家族有关联 ¹，故我们有

性质 3  若 $a \in \{B,S,E\}, b \neq W$，则关于 $x,y$ 的方程 $aWbx=Fy$ 无解。$\blacksquare$

进一步地，考虑两个同辈的基本元 $a,b \in \{B,S,E\}$，如果 $a \neq b$，则他们的配偶的家族也不会有交集。故有

性质 4  若 $a,b \in \{B,S,E\}, c,d \neq W$，则关于 $x,y$ 的方程 $aWcx=bWdy$ 有解当且仅当 $a=b$。$\blacksquare$

有了以上的铺垫，我们可以进入本文最重要的主题了。

$\mathcal{Z}$ 半群的标准分解

想要探究一个代数结构更深层次的结构，我们需要有一种形式标准地表示出其中所有的元素。读者可以类比整数环上的质因子分解——借助质因子分解我们可以研究更多的数论性质。类似地，$\mathcal{Z}$ 中也有这样一种分解形式。不过在那之前，我们需要了解配偶分解的概念。

定义 4 (配偶分解)  对于 $z\in\mathcal{Z}$，若序列 $\pi=(\pi_1,\pi_2,...,\pi_n)\in\mathcal{Z}$ 满足

$$z=\pi_1W\pi_2W\ldots W\pi_n$$

，则称 $\pi$ 为 $z$ 的一个配偶分解。$n$ 被称为配偶分解 $\pi$ 的长度，记为 $|\pi|$。$x$ 所有配偶分解的集合记为 $\Pi(x)$。$\blacksquare$

配偶分解即是将一个元表示为若干以“配偶”为分隔的项。一个元可能会有许多个配偶分解，考虑到 $W$ 有特殊性质 $W^2=E$，我们可以消去其中的平凡项，仅保留长度最小的形式。为此我们定义

定义 5 (最小配偶分解长度)  $\Pi(z)$ 中长度最小者，其长度被称为 $z$ 的最小配偶分解长度，记为 $L(z)$

$$L(z)=\min_{\pi \in \Pi(z)} |\pi|$$

。由于诸 $|\pi|$ 取值为正整数，他们的下确界 $L(z)$ 必存在，且也为正整数，因此这个定义是良好的。 $\blacksquare$

如果某个 $z$ 满足 $L(z)=1$，我们称其为一个标准因子。标准因子有着唯一的形式

定理 2 (标准因子的形式)  $z \in \mathcal{Z}$，若 $L(z)=1$，则 $z$ 可以唯一地写成 $z=F^my$，其中 $n\geq 0$, $y \in \{B,S,E\}$。

证明 (存在性)  由 $L(z)=1$ 知 $\exists (a_1,\ldots,a_n)\in \{F,E,B,S\}$，使得 $z=a_1\ldots a_n$。结合 $EF=BF=SF=F$ 的特性，我们可以不断将序列中的 $F$ 元与其左边的项合并，直至其左边为 $F$ 或其成为最左边的项为止。因此，我们可以不失一般性地假设存在 $1 \leq k \leq n$，使得

$$\begin{aligned} a_i&=F, &1\leq i \leq k; \\ a_j &\in \{B,S,E\}, &k < j \leq n. \end{aligned}$$

其次，利用 $BB=SB=B,BS=SS=S$，可将 $a_{k+1}a_{k+2}\ldots a_{n}$ 进一步化简为单一元 $y \in \{S,B,E\}$。如此一来我们便构造出 $z$ 的一个符合条件的分解。

(唯一性)   假设存在 $m,n\geq 0$, $b,c\in\{B,S,E\}$ 使得 $z = F^mb = F^nc$。由辈分定理我们有 $m=n$，结合左消去律可得 $y=z$。故这样的分解是唯一的。$\blacksquare$

最后，我们有 $\mathcal{Z}$ 上的标准分解定理

定理 3 (标准分解)  对任意 $z \in \mathcal{Z}$，存在唯一的 $\pi_z \in \Pi(z)$，使得 $|\pi_z|=L(z)=n$，并且 $\pi_z$ 的第 $k$ 项为 $\pi_k=F^{p_k}a_k$，其中 $p_k \geq 0, a_k \in \{B,S,E\}$。换言之，$z$ 有如下唯一的标准分解

$$z=F^{p_1}a_1WF^{p_2}a_2W\ldots W F^{p_n}a_n。$$

证明 (存在性)  由于 $\pi_z$ 已是 $z$ 长度最小的配偶分解，我们有

$$L(\pi_1)=L(\pi_2)=\ldots=L(\pi_n)=1$$

，由定理 2 可知诸 $\pi_k$ 有着唯一的形式 $F^{p_k}a_k$，进而我们总能构造一个符合条件的标准分解。

证明 (唯一性)  若同时存在 $x$ 的两种不同分解

$$\begin{align} x &= F^{p_1}a_1WF^{p_2}a_2W\ldots W F^{p_n}a_n \\ &= F^{q_1}b_1WF^{q_2}b_2W\ldots W F^{q_n}b_n \end{align}$$

利用左消去律我们可以消去两个序列开头的相同项，因此可以不失一般性地假设它们在开头便产生分歧。这会导致几种可能

1. 若 $p_1 = 0, q_1 > 0$，由第一个序列，$x$ 形如 $a_1Wcx$，其中 $c \neq W, x \in W$；另一方面，由第二个序列，$z$ 形如 $Fy$，其中 $y \in W$。然而由性质 3 可知，这样的 $x, y$ 不存在。
2. $p_1 = p_2 = 0$，且 $a_1 \neq a_2$。则 $z$ 可以同时写为 $a_1Wcx$ 与 $b_1Wdy$，其中 $c \neq W,$ $d\neq W,$ $x,y \in \mathcal{Z}$。然而由性质 4 知，这样的 $x, y$ 不存在。

两种情况皆会导致矛盾。因此，我们有 $z$ 的分解是唯一的。 $\blacksquare$

总结

本文使用群论的手段为中文语境下的亲属称谓建立了模型，提出了其若干性质，并最终证明了 $\mathcal{Z}$ 半群中元素的标准分解定理——这将成为我们拆解亲属称谓的有利工具。在下一篇博文中，我们将借此讨论两个亲属称谓可交换的充分必要条件。

作者：hsfzxjy
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