几何布朗运动下股票价格涨超/跌超50%概率计算步骤

1. 几何布朗运动（GBM）模型定义

假设股票价格 {St}t≥0\{S_t\}_{t \geq 0} 服从几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM），其随机微分方程（SDE）为：

dSt=μStdt+σStdWtdS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t

其中：

• μ\mu：股票的预期收益率（漂移率，drift）；
• σ\sigma：股票价格的波动率（volatility）；
• {Wt}t≥0\{W_t\}_{t \geq 0}：标准维纳过程（布朗运动），满足 Wt∼N(0,t)W_t \sim N(0, t)，且增量独立。

2. GBM的解与对数正态分布性质

通过伊藤引理（Itō's Lemma）求解上述SDE，可得任意时刻 TT 的股票价格 STS_T 与初始价格 S0S_0 的关系：

ST=S0exp⁡((μ−σ22)T+σWT)S_T = S_0 \exp\left( \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T \right)

对两边取自然对数，令 X=ln⁡(STS0)X = \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right)，则：

X=(μ−σ22)T+σWTX = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T + \sigma W_T

由于 WT∼N(0,T)W_T \sim N(0, T)，因此 XX 服从正态分布：

X∼N((μ−σ22)T⏟均值 μX,σ2T⏟方差 σX2)X \sim N\left( \underbrace{\left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}_{\text{均值 } \mu_X}, \underbrace{\sigma^2 T}_{\text{方差 } \sigma_X^2} \right)

相应地，STS0\frac{S_T}{S_0} 服从对数正态分布（Log-Normal Distribution）。

3. 目标概率推导

我们需要计算两个概率：

1. 未来一年后（T=1T=1）股票价格**涨超50%**的概率：P(ST>1.5S0)P(S_T > 1.5 S_0)；
2. 未来一年后股票价格**跌超50%**的概率：P(ST<0.5S0)P(S_T < 0.5 S_0)。

3.1 涨超50%的概率：P(ST>1.5S0)P(S_T > 1.5 S_0)

首先对不等式进行变形，两边除以 S0S_0 并取自然对数：

ST>1.5S0  ⟺  ln⁡(STS0)>ln⁡(1.5)S_T > 1.5 S_0 \iff \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right) > \ln(1.5)

即 P(ST>1.5S0)=P(X>ln⁡(1.5))P(S_T > 1.5 S_0) = P\left( X > \ln(1.5) \right)。

接下来将 XX 标准化为标准正态分布 Z∼N(0,1)Z \sim N(0,1)：

Z=X−μXσX=X−(μ−σ22)TσT∼N(0,1)Z = \frac{X - \mu_X}{\sigma_X} = \frac{X - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \sim N(0,1)

因此概率可表示为：

P(X>ln⁡(1.5))=P(Z>ln⁡(1.5)−(μ−σ22)TσT)=1−Φ(ln⁡(1.5)−(μ−σ22)TσT)\begin{aligned} P\left( X > \ln(1.5) \right) &= P\left( Z > \frac{\ln(1.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \\ &= 1 - \Phi\left( \frac{\ln(1.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \end{aligned}

其中 Φ(⋅)\Phi(\cdot) 为标准正态分布的累积分布函数（CDF）。

3.2 跌超50%的概率：P(ST<0.5S0)P(S_T < 0.5 S_0)

类似地，对不等式变形：

ST<0.5S0  ⟺  ln⁡(STS0)<ln⁡(0.5)S_T < 0.5 S_0 \iff \ln\left( \frac{S_T}{S_0} \right) < \ln(0.5)

即 P(ST<0.5S0)=P(X<ln⁡(0.5))P(S_T < 0.5 S_0) = P\left( X < \ln(0.5) \right)。

标准化后直接利用标准正态分布CDF计算：

P(X<ln⁡(0.5))=P(Z<ln⁡(0.5)−(μ−σ22)TσT)=Φ(ln⁡(0.5)−(μ−σ22)TσT)\begin{aligned} P\left( X < \ln(0.5) \right) &= P\left( Z < \frac{\ln(0.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \\ &= \Phi\left( \frac{\ln(0.5) - \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \right) \end{aligned}

4. 计算步骤总结

针对 T=1T=1（一年后）的场景，计算步骤可归纳为：

1. 确定参数：

   • 初始价格 S0S_0（概率计算中会约去，无需具体值）；
   • 预期收益率 μ\mu（年化）；
   • 波动率 σ\sigma（年化）；
   • 时间期限 T=1T=1（年）。

2. 计算对数收益率阈值：

   • 涨超50%阈值：ln⁡(1.5)≈0.4055\ln(1.5) \approx 0.4055；
   • 跌超50%阈值：ln⁡(0.5)≈−0.6931\ln(0.5) \approx -0.6931。

3. 计算正态分布的均值和标准差：

   • 均值：μX=(μ−σ22)×T\mu_X = \left( \mu - \frac{\sigma^2}{2} \right) \times T；
   • 标准差：σX=σ×T\sigma_X = \sigma \times \sqrt{T}。

4. 标准化并计算概率：

   • 涨超50%概率：1−Φ(ln⁡(1.5)−μXσX)1 - \Phi\left( \frac{\ln(1.5) - \mu_X}{\sigma_X} \right)；
   • 跌超50%概率：Φ(ln⁡(0.5)−μXσX)\Phi\left( \frac{\ln(0.5) - \mu_X}{\sigma_X} \right)。

5. 通过标准正态分布表/统计软件（如Python scipy.stats.norm.cdf）获取 Φ(⋅)\Phi(\cdot) 的值。

5. 数值计算

假设某股票的参数为：

• 预期年化收益率 μ=10%=0.1\mu = 10\% = 0.1；
• 年化波动率 σ=30%=0.3\sigma = 30\% = 0.3；
• 时间期限 T=1T = 1 年。

计算过程

1. 对数阈值： ln⁡(1.5)≈0.4055\ln(1.5) \approx 0.4055，ln⁡(0.5)≈−0.6931\ln(0.5) \approx -0.6931。

2. 正态分布参数： 均值 μX=(0.1−0.322)×1=0.1−0.045=0.055\mu_X = \left( 0.1 - \frac{0.3^2}{2} \right) \times 1 = 0.1 - 0.045 = 0.055； 标准差 σX=0.3×1=0.3\sigma_X = 0.3 \times \sqrt{1} = 0.3。

3. 标准化与概率计算：

   • 涨超50%的Z-score：zup=0.4055−0.0550.3≈0.35050.3≈1.168z_{\text{up}} = \frac{0.4055 - 0.055}{0.3} \approx \frac{0.3505}{0.3} \approx 1.168； 概率：1−Φ(1.168)≈1−0.878=0.1221 - \Phi(1.168) \approx 1 - 0.878 = 0.122（即12.2%）。

   • 跌超50%的Z-score：zdown=−0.6931−0.0550.3≈−0.74810.3≈−2.494z_{\text{down}} = \frac{-0.6931 - 0.055}{0.3} \approx \frac{-0.7481}{0.3} \approx -2.494； 概率：Φ(−2.494)≈0.0063\Phi(-2.494) \approx 0.0063（即0.63%）。

结果说明

在该参数假设下，股票一年后涨超50%的概率约为12.2%，跌超50%的概率约为0.63%。