百万英雄

背景：

你参加了一个游戏，在你面前有4张100万支票，其中1张是真的。游戏开始，你选了一张，之后主持人在剩下的3张里，选择一个展示出来，验证后发现是假的。

问题：请分情况理性分析，此时，你的参赛权的价格

• 情况1：不允许改之前选择
• 情况2：有重新选择的权力

回答：请用下面两种方式分别作答

• 方式1（理论推导）：请给出理论推导及计算过程，情况2需说明如何行使权力。
• 方式2（编程模拟）：请用一个你不熟悉的脚本语言，客观、准确、完整的模拟上述两种情况下（例如：模拟1万次），选手平均获得的奖金，得到参赛权的价格。

注意事项

1. 编程模拟时，请不要引入任何主观想法，确保模拟客观、准确、完整，并与理论推导独立，即使是2选一，50%概率这种也不要在代码中体现，而应随机模拟二选一，避免把代码变成理论推导的公式计算器，能够达到相互验证的作用。
2. 时间不限。考验的是交付能力，请确保在交付时已彻底解决，有100%自信能够面对与自己解答不符的观点，并通过讨论指出其中的问题。

我的瞎几把答：

这个问题非常类似 “三门问题”、Monty Hall problem。

我对问题做出两个前提：

1. 问题中所描述的 “你选了一张，之后主持人在剩下的3张里，选择一个展示出来，验证后发现是假的”，我暂且认为主持人一定会选择一张假的，而不是随机选择一张。
2. 问题是求 “参赛权的价格”，我暂且认为是求中奖的概率，而价格我们则统一认为它的计算公式是 [ 参赛权的价格 = 参赛的唯一最大利益 * 中奖几率 ]

情况一：不允许改之前选择

理论推导：

四张支票，一张真，三张假，所以抽出一张，

在主持人未公布假支票之前，抽出真支票的概率为 1 / 4 = 0.25，

主持人公布后，理论上抽中支票的概率变成了 1 / 3 = 0.33，

但实际上，在抽的那一刻，是基于 1 / 4 = 0.25 的概率进行风险统计和决策的，所以真正付出的风险是 1 / 4 = 0.25，

而且，由于没有改变选择的权利，且，0.25是基于决策的概率，而0.33是基于部分既定结果的概率，所以实际上你赢奖的概率并没有因为概率基数的减少而增大。

所以，在不允许改变选择的情况下，你真正的中奖概率是 1 / 4 = 0.25，参赛权的价格为 100 * 0.25 = 25万

编程模拟：

        
        

          
123456789101112131415161718192021222324
          
import random

def game():
  # 支票
  cheques = [False, True, False, False]
  # 抽支票并直接返回
  return random.choice(cheques)

def doGame():
  wins = 0
  loses = 0
  count = 10000
  for i in range(count):
    win = game()
    if win:
      wins += 1
    else:
      loses += 1
  print('共进行了', count, '次抽奖；')
  print('中奖场次：', wins, '场', round(wins / count * 100,  2), '%')
  print('失败场次：', loses, '场', round(loses / count * 100,  2), '%')
  print('根据概率计算的 参赛权价格约等于', round(wins / count * 100,  2), '万')

doGame()
        
      

情况二：有重新选择的权力

理论推导：

同上，主持人公布假支票后，等于减少了一个概率基数，

因为在这一刻，抽奖者拥有了一次重新选择的机会，由于这时基数已减少，所以，理论上，只要再次决策，

接下来的决策胜利的概率则变成了 1 / (4 - 1) = 0.33，

前提是，你需要做出决策（重新选择），新的决策会基于 1 / (4 - 1) = 0.33 的概率，中奖的概率会增加 0.33 - 0.25 = 0.08，

重新决策 与 不重新决策的区别：

重新决策：基于 1 / (4 - 1) = 0.33 的概率进行选择 不再决策：保持基于 1 / 4 = 0.25 概率做出的选择

所以，0.33 > 0.25，理论上，重新选择的胜率会高于不重新选择的胜率。

但实际上，即便是新的决策，你依然可能会选择当下已选支票；若如此，选择没有任何变化，概率却变了；

所以，概率并不是因为你的重新决策而变化，而是因为客观基数变化而变化；

上面的假设之所以也成立，是因为 “基于上次概率作出的决策结果” 恰恰也是 “本次决策概率的基数之一”；

试想，如果“重新选择”这个问题，改为分别给你两场抽奖机会，一场 0.33，一场 0.25，瞬间就不会觉得概率与事实上的悖论了。

所以，要换，换的话，参赛权的价格为 100 * 0.33 = 33万。

编程模拟：

        
        

          
123456789101112131415161718192021222324252627282930313233
          
import random

def switchGame(switch):
  # 支票
  cheques = [False, True, False, False]
  # 抽一支支票
  choose = random.choice(cheques)
  # 主持人公布（删除）一个假支票
  cheques.remove(False)
  # 如果选择更换选择，则重新选择一次
  if switch:
    choose = random.choice(cheques)
  # 返回抽奖结果
  return choose


def doGame(switch):
  wins = 0
  loses = 0
  count = 10000
  for i in range(count):
    win = switchGame(switch)
    if win:
      wins += 1
    else:
      loses += 1
  print('共进行了', count, '次', '重选' if switch else '不重选', '抽奖；')
  print('中奖场次：', wins, '场', round(wins / count * 100,  2), '%')
  print('失败场次：', loses, '场', round(loses / count * 100,  2), '%')
  print('根据概率计算的 参赛权价格约等于', round(wins / count * 100,  2), '万')

doGame(True)
doGame(False)