离散数学:代数系统(一)

发布时间： 2025-03-04 17:49:59 更新时间： 2025-07-04 18:44:32

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先记忆一下基础概念,顺便练习一下LaTeX\LaTeX{}

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运算律

可交换性

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果∀x,y∈S,都有如果\forall x, y \in S,都有 x∘y=y∘xx \circ y = y \circ x 则称∘运算是可交换的则称\circ运算是\textbf{可交换的}

可结合性

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果∀x,y,z∈S,都有如果\forall x, y, z \in S,都有 (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z) 则称∘运算是可结合的则称\circ运算是\textbf{可结合的}

分配律

设∘和∗为S上的两个二元运算设\circ和*为S上的两个二元运算

如果∀x,y,z∈S,都有如果\forall x, y, z \in S,都有 x∘(yz)=(x∘y)(x∘z)x \circ (y _ z) = (x \circ y) _ (x \circ z) 和(yz)∘x=(y∘x)(z∘x)和 (y _ z) \circ x = (y \circ x) _ (z \circ x) 则称∘运算对\*运算满足分配律则称\circ运算对\*运算满足\textbf{分配律}

吸收律

设∘和∗为S上的两个二元运算设\circ和*为S上的两个二元运算

如果∀x,y∈S,都有如果\forall x, y \in S,都有 x∘(xy)=xx \circ (x _ y) = x 和x(x∘y)=x和 x _ (x \circ y) = x 则称∘和\*运算满足吸收律则称\circ和\*运算满足\textbf{吸收律}

消去律

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果∀x,y,z∈S,当x≠z时如果\forall x, y, z \in S,当x \neq z时 x∘y=x∘z  ⟹  y=zx \circ y = x \circ z \implies y = z 和y∘x=z∘x  ⟹  y=z和 y \circ x = z \circ x \implies y = z 则称∘运算满足消去律则称\circ运算满足\textbf{消去律}

如果∘\circ运算满足左消去律和右消去律，则称其满足消去律。

特殊元

幂等元

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

∀x∈S\forall x \in S ; x∘x=x x\circ x=x 则称∘运算适合幂等律则称\circ运算适合 \textbf{幂等律}

∃x∈S\exists x \in S ; x∘x=x x\circ x=x 则称x为运算∘的幂等元x 为运算\circ 的 \textbf{幂等元}

幺元(单位元)

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果∃el(或er),使得∀x∈S都有如果\exists e_l(或e_r),使得\forall x \in S 都有 el∘x=x(或x∘er=x)e_l \circ x =x (或 x \circ e_r =x) 则称el(或er)为S上关于∘运算的一个左幺元(或右幺元)则称e_l(或e_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左幺元}(或\textbf{右幺元)} 若e关于∘运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算∘的幺元若e关于\circ运算既是左幺元又是右幺元,则称e为S上关于运算\circ的\textbf{幺元}

零元

设∘为S上的二元运算设\circ为S上的二元运算

如果∃zl(或zr),使得∀x∈S都有如果\exists z_l(或z_r),使得\forall x \in S 都有 zl∘x=zl(或x∘zr=zr)z_l \circ x = z_l (或 x \circ z_r = z_r) 则称zl(或zr)为S上关于∘运算的一个左零元(或右零元)则称z_l(或z_r)为S上关于\circ运算的一个\textbf{左零元}(或\textbf{右零元)} 若z关于∘运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算∘的零元若z关于\circ运算既是左零元又是右零元,则称z为S上关于运算\circ的\textbf{零元}

特别地，如果∘\circ是可交换的，则左零元和右零元相等，统称为零元。

逆元

设∘为S上的二元运算，且e为S上关于∘运算的幺元设\circ为S上的二元运算，且e为S上关于\circ运算的幺元

如果∀x∈S,∃y∈S,使得如果\forall x \in S,\exists y \in S,使得 y∘x=e(或x∘y=e)y \circ x = e (或 x \circ y = e) 则称y为x关于∘运算的左逆元(或右逆元)则称y为x关于\circ运算的\textbf{左逆元}(或\textbf{右逆元)} 若y关于∘运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于∘运算的逆元若y关于\circ运算既是x的左逆元又是右逆元,则称y为x关于\circ运算的\textbf{逆元}

如果每个元素都有逆元，则称该代数结构关于∘\circ运算是可逆的。