环定义

给定代数系统<A,+,∗>,+和∗是A上的二元运算,若满足下面条件<A,+,*>,+和*是A上的二元运算,若满足下面条件

(1)<A,+>是交换群(1) <A,+>是交换群

(2)<A,∗>是半群(2) <A,*>是半群

(3)∗对+可分配.即对任何a,b,c∈A,有a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)及(a+b)∗c=(a∗c)+(b∗c)*对+可分配.即对任何a,b,c \in A ,有\\a*(b+c)=(a*b)+(a*c)及(a+b)*c=(a*c)+(b*c)

则称<A,+,∗><A,+,*>是环

环运算法则

设<A,+,∗>是环,任意a,b,c∈A<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A,约定:

对+:幺元用0表示,a的逆元用−a表示;对+ : 幺元用0表示,a的逆元用-a表示;

对∗:幺元用1表示,a的逆元用a−1表示;对* : 幺元用1表示,a的逆元用a^{-1}表示;

将a+(−b)记为a−b将a+(-b)记为a-b

定理

:::tip

设<A,+,∗>是环,任意a,b,c∈A<A,+,*>是环,任意a,b,c \in A

(1)a∗0=0∗a=0(+的幺元,恰是∗的零元)(1) a*0=0*a=0 (+的幺元,恰是*的零元)

(2)(−a)∗b=a∗(−b)=−(a∗b)=−a∗b(2)(-a)*b=a*(-b)=-(a*b)=-a*b

(3)(−a)∗(−b)=a∗b(3)(-a)*(-b)=a*b

(4)a∗(b−c)=(a∗b)−(a∗c)=a∗b−a∗c(4) a*(b-c)=(a*b)-(a*c)=a*b-a*c

(5)(a−b)∗c=a∗c−b∗c(5) (a-b)*c=a*c-b*c

易证不难

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零因子

设<A,+,∗>是环,+运算的幺元0,恰是∗运算的零元,称0是环的零元<A,+,*>是环,+运算的幺元0,恰是*运算的零元,称0是环的零元

显然 若a=0或b=0,则a∗b=0a*b=0

反之 则不一定

定义:

设<A,+,∗>是环有a,b∈A使得a≠b∨b≠0但a∗b=0则称a,b是零因子设<A,+,*>是环\\有a,b \in A \\使得a \not= b \vee b \not= 0 \\ 但a*b=0 \\则称a,b是零因子

特殊环

(1)若∗满足交换律,则称<A,+,∗>是交换环(1)若*满足交换律,则称<A,+,*>是交换环

(2)若<A,∗>存在幺元,则称<A,+,∗>是含幺环(2)若<A,*>存在幺元,则称<A,+,*>是含幺环

(3)若∀a,b∈A,a∗b=0=>a=0∨b=0,则称<A,+,∗>是无零因子环.(3)若 \forall a,b \in A ,a*b=0 => a=0 \vee b =0 ,则称 <A,+,*>是无零因子环.

(4)若<A,+,∗>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,∗>是整环(4) 若<A,+,*>是交换环,含幺环,无零因子环,则称<A,+,*>是整环

(5)若<A−0,∗>是交换群,则称<A,+,∗>是域(5) 若 <A-{0},*>是交换群,则称<A,+,*>是域

定理

:::tip

<A,+,∗>是无零因子环,当且仅当运算∗满足可消去性<A,+,*>是无零因子环,当且仅当运算*满足可消去性

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:::tip

$设<A,+,*>是域,则A中无零因子.

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:::tip

域必是整环

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:::tip

有限整环一定是域

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