子群的定义

设<G,∗><G,*>是群,S是G的非空子集,如果<S,∗><S,*>满足:

(1) 对 ∀a,b∈S\forall a,b \in S均有a∗b∈Sa*b \in S (封闭性)

(2) 幺元e∈Se \in S (有幺元)

(3) 对 ∀a∈S\forall a \in S ,有a−1∈Sa^{-1} \in S (可逆)

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显而易见,结合性不证自明,略

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则称<S,∗><S,*>是<G,∗><G,*>的子群

任何群<G,∗><G,*>都存在子群,**<e,∗>,<G,∗><{e},*>,<G,*>**都是<G,∗><G,*>的子群,称为<G,∗><G,*>的平凡子群.

证明方法

1.定义证明

即证明,运算在非空子集上满足封闭性,有幺元,子集中的每个元素均可逆

2.定理证明

定理

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设<G,∗>是群,B是G的有限子集,如果∗在B上满足封闭性,则<B,∗>是<G,∗>的子群设<G,*>是群,B是G的有限子集,如果*在B上满足封闭性,则<B,*>是<G,*>的子群

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证明:

(1)先证明幺元e∈Be \in B

任取b∈B,因为∗在B上封闭,所以对任意i≥1,有bi∈B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得bi=bj,j−i≥1,所以bj−i∈B.因为<G,∗>是群,于是b−1,(bi)−1∈G,于是bj−i=bj∗(b−1)i=bi∗(bi)−1=e,而bj−i∈B,所以e∈B.任取 b \in B,因为*在B上封闭,所以对任意i \ge1,有b^{i}\in B,因i可以取无穷多个值,而B中元素个数有限,所以必然存在正整数i,j(i<j),使得b^i=b^j,j-i\geq1,所以b^{j-i} \in B.因为<G,*>是群,于是b^{-1},(b^i)^{-1}\in G ,于是b^{j-i}=b^j*(b^{-1})^i=b^i*(b^i)^{-1}=e,而b^{j-i} \in B,所以e \in B.

(2) 在证B中每个元素均可逆

任取b∈B由(1)可知bj−i=e(j−i≥1)(1)如果j−i=1,则bj−i=b=e,即b−1=b,于是b−1∈B.(2)如果j−i>1,有bj−i−1∈B,而b∗bj−i−1=bj−i−1∗b=bj−i=e,即b−1=bj−i−1,于是b−1∈B 任取b \in B 由 (1)可知 b^{j-i}=e (j-i \ge 1)\\ (1) 如果j-i=1,则b^{j-i}=b=e,即b^{-1}=b,于是b^{-1} \in B. \\ (2)如果j-i>1,有b^{j-i-1}\in B,而 b*b^{j-i-1}=b^{j-i-1}*b=b^{j-i}=e,即b^{-1}=b^{j-i-1},于是b^{-1}\in B

:::tip

设<G,*>是群,S是G的非空子集,如果对∀a,b∈S\forall a,b \in S,均有a∗b−1∈Sa*b^{-1} \in S则<S,>是<G,><S,_>是<G,_>的子群

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(1)先证幺元(e∈S)任取(a∈S)，由已知得(a∗a−1∈S)。而(a∗a−1=e)，即(e∈S)。(2)再证明(S)中任意元素均可逆任取(b∈S)，由(1)知，(e∈S)。再由已知得(e∗b−1∈S)，而(e∗b−1=b−1)。即b−1∈S(3)最后证明<S,∗>是封闭的任取a,b∈S,由(2)知b−1∈S,由已知得a∗(b−1)−1∈S,即a∗吧∈S综上,<S,∗>是<G,∗>的子群(1) 先证幺元 (e \in S)\\ 任取 (a \in S)，由已知得 (a * a^{-1} \in S)。 \\ 而 (a * a^{-1} = e)，即 (e \in S)。 \\ (2) 再证明 (S) 中任意元素均可逆 \\ 任取 (b \in S)，由 (1) 知，(e \in S)。 \\ 再由已知得 (e * b^{-1} \in S)，而 (e * b^{-1} = b^{-1})。 \\即b^{-1} \in S (3)最后证明<S,*>是封闭的\\ 任取a,b \in S, 由(2)知b^{-1} \in S,由已知得\\ a*(b^{-1})^{-1}\in S ,即a*吧\in S \\综上,<S,*>是<G,*>的子群