子群的陪集

定义

设<H,∗><H,*>是群<G,∗><G,*>的子群,a∈Ga \in G,定义集合

aH={a∗h∣h∈H}aH=\{a*h|h \in H\}

Ha={h∗a∣h∈H}Ha=\{h*a |h \in H\}

则称aH(Ha)为a确定的H在G中的左(右)陪集.

定理

<H,∗>是群<G,∗>的子群,任何a,b∈G,有<H,*>是群<G,*>的子群,任何a,b \in G,有

(1)aH=bH当且仅当a∈bH(1)aH=bH 当且仅当a \in bH

(2)aH∩bH=∅当且仅当a∉bH(2)aH \cap bH = \varnothing 当且仅当a \notin bH

证明(1)

(1)必要性

已知,aH=bH,因e∈He \in H,于是a=a∗e∈aHa=a*e \in a H

(2)充分性

设a∈bHa\in bH,先证aH⊆bHaH \subseteq bH

设,任意x∈aHx \in aH,于是有h1∈H使得x=a∗h1由于a∈bH,于是有h2∈H使得a=b∗h2于是x=(b∗h2)∗h1=b∗(h2∗h1)由<H,∗>是群,h2∗h1∈H,于是x∈bH,所以aH⊆bH同理可证bH⊆aH,于是aH=bHh_1 \in H\\ 使得x=a*h_1\\由于a \in bH,于是有h_2 \in H \\使得 a=b*h_2\\于是x=(b*h_2)*h_1=b*(h_2*h_1)\\由<H,*>是群,h_2*h_1\in H ,于是 x \in bH,所以aH \subseteq bH \\ 同理可证bH \subseteq aH,于是aH=bH,

证明(2)

a) 必要性，已知 aH∩bH=∅aH \cap bH = \varnothing，假设 a∈bHa \in bH

由于 e∈He \in H，于是 a=a⋆e∈aHa = a \star e \in aH

于是 a∈aH∩bHa \in aH \cap bH，与 aH∩bH=∅aH \cap bH = \varnothing 矛盾，所以 a∉bHa \notin bH。

b) 充分性，已知 a∉bHa \notin bH，（往证 aH∩bH=∅aH \cap bH = \varnothing）

假设 aH∩bH≠∅aH \cap bH \neq \varnothing，则至少有 x∈aH∩bHx \in aH \cap bH

于是 x∈aHx \in aH 且 x∈bHx \in bH，即存在 h1,h2∈Hh_1, h_2 \in H 使得 x=a⋆h1x = a \star h_1，x=b⋆h2x = b \star h_2

于是 a⋆h1=b⋆h2a \star h_1 = b \star h_2。又 h1−1∈Hh_1^{-1} \in H，所以 a=b⋆(h2⋆h1−1)a = b \star (h_2 \star h_1^{-1})，而 h2⋆h1−1∈Hh_2 \star h_1^{-1} \in H

于是 a∈bHa \in bH，与 a∉bHa \notin bH 矛盾。因此 aH∩bH=∅aH \cap bH = \varnothing

定理2

设<H,∗>是群<G,∗>的子群,对任何a∈G,a<H,*>是群<G,*>的子群,对任何a \in G,a必属于且仅属于一个陪集

设<G,∗>是有限群,<H,∗>是群<G,∗>的子群,b∈G,bH为<H,∗>的左陪集<G,*>是有限群,<H,*>是群<G,*>的子群,b \in G, bH为<H,*>的左陪集,则bH中的任何两个元素都不相同

拉格朗日定理

设<G,∗>是有限群∣G∣=n,<H,∗>是<G,∗>的任意子群且∣H∣=m,则n=km,(k∈I)<G,*>是有限群\\|G|=n,<H,*>是<G,*>的任意子群\\且|H|=m,则n=km,(k\in I)

拉格朗日定理说明:

子群的阶数,是群阶数的因子

推论1

<G,∗>是n阶群,则对任意的a∈G,∣a∣必是n的银子,且an=e<G,*>是n阶群,则对任意的a \in G, |a|必是n的银子,且a^n=e