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设 SS是非空集合,∗*是SS上的二元运算,如果∗*在SS上满足封闭性 可结合性 ,则称<S,∗><S,*>是半群
设<M,∗><M,*>是个半群,如果∗*运算有幺元,,则称<M,∗><M,*>是独异点,也称它为含幺半群
设<M,∗><M,*>是个半群,如果∗*运算是可交换的,,则称<M,∗><M,*>是可交换半群
设<M,∗><M,*>是个独异点,如果∗*运算是可交换的,,则称<M,∗><M,*>是**可交换独异点
设<S,∗><S,*>是个半群,B∈SB\in S,如果∗*在BB上封闭,则称<B,∗><B,*>是<S,∗><S,*>的子半群
设<S,∗><S,*>是个独异点,B∈SB\in S,如果∗*在BB上封闭,且幺元e∈Be \in B,则称<B,∗><B,*>是<S,∗><S,*>的子独异点
<M,∗><M,*>是可交换独异点,A是M中所有幂等元构成的集合,则<A,∗><A,*>是<M,∗><M,*>的子独异点**
:::tip
显然A∈MA \in M,只需证明幺元e∈Ae \in A,以及封闭性即可!
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证明:
(1)证e∈Ae \in A
因为 e∗e=ee * e =e ,e是幂等元,由题意,e∈Ae \in A
(2) 证∗*在A上封闭
任取 a,b∈Aa,b \in A,于是
a∗a=a,b∗b=b(a∗b)∗(a∗b)=(a∗a)∗(b∗b)=a∗b在A上封闭(幂等元),所以a∗b∈Aa * a =a , b*b=b \\ (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)=a*b \\ 在A上封闭(幂等元),所以 a*b \in A
定理得证
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