代数系统的基本性质

同构

同构是代数系统之间的一种重要关系，用符号 ≅\cong 表示。若两个代数系统 (A,⋆)(A, \star) 和 (B,∘)(B, \circ) 之间存在同构，则记作 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)。

同构的性质

1. 自反性

定理：任意代数系统与自身同构。

证明： 对于任意代数系统 (A,⋆)(A, \star)，存在恒等映射 f:A→Af: A \rightarrow A，对于任意 a∈Aa \in A，有 f(a)=af(a) = a。

对任意 a,b∈Aa, b \in A，有：

f(a⋆b)=a⋆b=f(a)⋆f(b)f(a \star b) = a \star b = f(a) \star f(b)

所以恒等映射 ff 是从系统 (A,⋆)(A, \star) 到自身的同构，即 (A,⋆)≅(A,⋆)(A, \star) \cong (A, \star)。

2. 对称性

定理：若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)，则 (B,∘)≅(A,⋆)(B, \circ) \cong (A, \star)。

证明： 已知 y=f(x)y=f(x), x=f−1(y)x=f^{-1}(y)

证明 f−1(y1∘y2)=f−1(y1)⋆f−1(y2)f^{-1}(y_1 \circ y_2)=f^{-1}(y_1)\star f^{-1}(y_2) 与 f(x1⋆x2)=f(x1)∘f(x2)f(x_1 \star x_2)=f(x_1)\circ f(x_2) 等价：

1. 用已知条件替换：

   f−1(f(x1)∘f(x2))=f−1(f(x1))⋆f−1(f(x2))f^{-1}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{-1}(f(x_1))\star f^{-1}(f(x_2))

2. 两边再套 ff，消去 f−1f^{-1}：

   f(x1⋆x2)=f(x1)∘f(x2)f(x_1\star x_2) = f(x_1) \circ f(x_2)

更一般地，若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)，则存在双射 f:A→Bf: A \rightarrow B 满足 f(a⋆b)=f(a)∘f(b)f(a \star b) = f(a) \circ f(b)。

构造 f−1:B→Af^{-1}: B \rightarrow A，则有 f−1(f(a))=af^{-1}(f(a)) = a 对任意 a∈Aa \in A 成立。

对于任意 y1,y2∈By_1, y_2 \in B，设 x1=f−1(y1),x2=f−1(y2)x_1 = f^{-1}(y_1), x_2 = f^{-1}(y_2)，则：

f−1(y1∘y2)=f−1(f(x1)∘f(x2))=f−1(f(x1⋆x2))=x1⋆x2=f−1(y1)⋆f−1(y2)f^{-1}(y_1 \circ y_2) = f^{-1}(f(x_1) \circ f(x_2)) = f^{-1}(f(x_1 \star x_2)) = x_1 \star x_2 = f^{-1}(y_1) \star f^{-1}(y_2)

因此 f−1f^{-1} 是从 (B,∘)(B, \circ) 到 (A,⋆)(A, \star) 的同构映射，即 (B,∘)≅(A,⋆)(B, \circ) \cong (A, \star)。

3. 传递性

定理：若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ) 且 (B,∘)≅(C,∙)(B, \circ) \cong (C, \bullet)，则 (A,⋆)≅(C,∙)(A, \star) \cong (C, \bullet)。

证明： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是 (A,⋆)(A, \star) 到 (B,∘)(B, \circ) 的同构映射，即 f(a1⋆a2)=f(a1)∘f(a2)f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2)。 设 g:B→Cg: B \rightarrow C 是 (B,∘)(B, \circ) 到 (C,∙)(C, \bullet) 的同构映射，即 g(b1∘b2)=g(b1)∙g(b2)g(b_1 \circ b_2) = g(b_1) \bullet g(b_2)。

构造复合映射 h=g∘f:A→Ch = g \circ f: A \rightarrow C，对于任意 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，有：

h(a1⋆a2)=g(f(a1⋆a2))=g(f(a1)∘f(a2))=g(f(a1))∙g(f(a2))=h(a1)∙h(a2)h(a_1 \star a_2) = g(f(a_1 \star a_2)) = g(f(a_1) \circ f(a_2)) = g(f(a_1)) \bullet g(f(a_2)) = h(a_1) \bullet h(a_2)

由于 ff 和 gg 都是双射，h=g∘fh = g \circ f 也是双射，因此 hh 是从 (A,⋆)(A, \star) 到 (C,∙)(C, \bullet) 的同构映射，即 (A,⋆)≅(C,∙)(A, \star) \cong (C, \bullet)。

同构的保持性质

1. 保持结合律

定理：若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)，且 ⋆\star 在 AA 上具有结合律，则 ∘\circ 在 BB 上也具有结合律。

证明： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是 (A,⋆)(A, \star) 到 (B,∘)(B, \circ) 的同构映射。对于任意 b1,b2,b3∈Bb_1, b_2, b_3 \in B， 由于 ff 是满射，存在 a1,a2,a3∈Aa_1, a_2, a_3 \in A，使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2,f(a3)=b3f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2, f(a_3) = b_3。

(b1∘b2)∘b3=(f(a1)∘f(a2))∘f(a3)=f(a1⋆a2)∘f(a3)=f((a1⋆a2)⋆a3)(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = (f(a_1) \circ f(a_2)) \circ f(a_3) = f(a_1 \star a_2) \circ f(a_3) = f((a_1 \star a_2) \star a_3)

由于 ⋆\star 满足结合律，有 (a1⋆a2)⋆a3=a1⋆(a2⋆a3)(a_1 \star a_2) \star a_3 = a_1 \star (a_2 \star a_3)，因此：

f((a1⋆a2)⋆a3)=f(a1⋆(a2⋆a3))=f(a1)∘f(a2⋆a3)=f(a1)∘(f(a2)∘f(a3))=b1∘(b2∘b3)f((a_1 \star a_2) \star a_3) = f(a_1 \star (a_2 \star a_3)) = f(a_1) \circ f(a_2 \star a_3) = f(a_1) \circ (f(a_2) \circ f(a_3)) = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)

因此 (b1∘b2)∘b3=b1∘(b2∘b3)(b_1 \circ b_2) \circ b_3 = b_1 \circ (b_2 \circ b_3)，∘\circ 在 BB 上具有结合律。

2. 保持交换律

定理：若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)，且 ⋆\star 在 AA 上具有交换律，则 ∘\circ 在 BB 上也具有交换律。

证明： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是 (A,⋆)(A, \star) 到 (B,∘)(B, \circ) 的同构映射。对于任意 b1,b2∈Bb_1, b_2 \in B， 存在 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2。

b1∘b2=f(a1)∘f(a2)=f(a1⋆a2)b_1 \circ b_2 = f(a_1) \circ f(a_2) = f(a_1 \star a_2)

由于 ⋆\star 满足交换律，有 a1⋆a2=a2⋆a1a_1 \star a_2 = a_2 \star a_1，因此：

f(a1⋆a2)=f(a2⋆a1)=f(a2)∘f(a1)=b2∘b1f(a_1 \star a_2) = f(a_2 \star a_1) = f(a_2) \circ f(a_1) = b_2 \circ b_1

因此 b1∘b2=b2∘b1b_1 \circ b_2 = b_2 \circ b_1，∘\circ 在 BB 上具有交换律。

3. 保持幺元、零元和逆元

定理：若 (A,⋆)≅(B,∘)(A, \star) \cong (B, \circ)，则：

1. 若 eAe_A 是 (A,⋆)(A, \star) 的幺元，则 f(eA)f(e_A) 是 (B,∘)(B, \circ) 的幺元。
2. 若 zAz_A 是 (A,⋆)(A, \star) 的零元，则 f(zA)f(z_A) 是 (B,∘)(B, \circ) 的零元。
3. 若 a−1a^{-1} 是 aa 在 (A,⋆)(A, \star) 中的逆元，则 f(a−1)f(a^{-1}) 是 f(a)f(a) 在 (B,∘)(B, \circ) 中的逆元。

证明（幺元）： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是从 (A,⋆)(A, \star) 到 (B,∘)(B, \circ) 的同构映射，eAe_A 是 (A,⋆)(A, \star) 的幺元。 对任意 b∈Bb \in B，存在唯一的 a∈Aa \in A 使得 f(a)=bf(a) = b。

b∘f(eA)=f(a)∘f(eA)=f(a⋆eA)=f(a)=bb \circ f(e_A) = f(a) \circ f(e_A) = f(a \star e_A) = f(a) = b f(eA)∘b=f(eA)∘f(a)=f(eA⋆a)=f(a)=bf(e_A) \circ b = f(e_A) \circ f(a) = f(e_A \star a) = f(a) = b

因此 f(eA)f(e_A) 是 (B,∘)(B, \circ) 的幺元。（零元和逆元的证明类似）

4. 保持分配率

定理：若 (A,⋆,⋄)≅(B,∘,△)(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle)，且 ⋄\diamond 对 ⋆\star 满足分配率，则 △\triangle 对 ∘\circ 也满足分配率。

证明： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是同构映射，满足 f(a1⋆a2)=f(a1)∘f(a2)f(a_1 \star a_2) = f(a_1) \circ f(a_2) 和 f(a1⋄a2)=f(a1)△f(a2)f(a_1 \diamond a_2) = f(a_1) \triangle f(a_2)。

若 ⋄\diamond 对 ⋆\star 满足左分配律，即 a1⋄(a2⋆a3)=(a1⋄a2)⋆(a1⋄a3)a_1 \diamond (a_2 \star a_3) = (a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3)，则对于任意 b1,b2,b3∈Bb_1, b_2, b_3 \in B，设 f(ai)=bif(a_i) = b_i：

b1△(b2∘b3)=f(a1)△(f(a2)∘f(a3))=f(a1)△f(a2⋆a3)=f(a1⋄(a2⋆a3))=f((a1⋄a2)⋆(a1⋄a3))=f(a1⋄a2)∘f(a1⋄a3)=(b1△b2)∘(b1△b3)\begin{align} b_1 \triangle (b_2 \circ b_3) &= f(a_1) \triangle (f(a_2) \circ f(a_3)) \\ &= f(a_1) \triangle f(a_2 \star a_3) \\ &= f(a_1 \diamond (a_2 \star a_3)) \\ &= f((a_1 \diamond a_2) \star (a_1 \diamond a_3)) \\ &= f(a_1 \diamond a_2) \circ f(a_1 \diamond a_3) \\ &= (b_1 \triangle b_2) \circ (b_1 \triangle b_3) \end{align}

因此 △\triangle 对 ∘\circ 满足左分配律。右分配律的证明类似。

5. 保持吸收率

定理：若 (A,⋆,⋄)≅(B,∘,△)(A, \star, \diamond) \cong (B, \circ, \triangle)，且 (A,⋆,⋄)(A, \star, \diamond) 满足吸收律，则 (B,∘,△)(B, \circ, \triangle) 也满足吸收律。

证明： 设 f:A→Bf: A \rightarrow B 是同构映射，(A,⋆,⋄)(A, \star, \diamond) 满足吸收律：a1⋆(a1⋄a2)=a1a_1 \star (a_1 \diamond a_2) = a_1 和 a1⋄(a1⋆a2)=a1a_1 \diamond (a_1 \star a_2) = a_1。

对于任意 b1,b2∈Bb_1, b_2 \in B，存在 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，使得 f(a1)=b1,f(a2)=b2f(a_1) = b_1, f(a_2) = b_2。

b1∘(b1△b2)=f(a1)∘(f(a1)△f(a2))=f(a1)∘f(a1⋄a2)=f(a1⋆(a1⋄a2))=f(a1)=b1\begin{align} b_1 \circ (b_1 \triangle b_2) &= f(a_1) \circ (f(a_1) \triangle f(a_2)) \\ &= f(a_1) \circ f(a_1 \diamond a_2) \\ &= f(a_1 \star (a_1 \diamond a_2)) \\ &= f(a_1) \\ &= b_1 \end{align}

类似地：

b1△(b1∘b2)=f(a1)△(f(a1)∘f(a2))=f(a1)△f(a1⋆a2)=f(a1⋄(a1⋆a2))=f(a1)=b1\begin{align} b_1 \triangle (b_1 \circ b_2) &= f(a_1) \triangle (f(a_1) \circ f(a_2)) \\ &= f(a_1) \triangle f(a_1 \star a_2) \\ &= f(a_1 \diamond (a_1 \star a_2)) \\ &= f(a_1) \\ &= b_1 \end{align}

因此 (B,∘,△)(B, \circ, \triangle) 也满足吸收律。

同态核

定义

设 f:(A,⋆)→(B,∘)f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ) 是一个同态映射，则 ff 的同态核（也称为核）定义为：

Ker(f)={a∈A∣f(a)=eB}\text{Ker}(f) = \{a \in A | f(a) = e_B\}

其中 eBe_B 是代数系统 (B,∘)(B, \circ) 的单位元（幺元）。

同态核的性质

1. 闭包性：若 a,b∈Ker(f)a, b \in \text{Ker}(f)，则 a⋆b∈Ker(f)a \star b \in \text{Ker}(f)

   证明：因为 a,b∈Ker(f)a, b \in \text{Ker}(f)，所以 f(a)=eB,f(b)=eBf(a) = e_B, f(b) = e_B

   f(a⋆b)=f(a)∘f(b)=eB∘eB=eBf(a \star b) = f(a) \circ f(b) = e_B \circ e_B = e_B

   因此 a⋆b∈Ker(f)a \star b \in \text{Ker}(f)

2. 幺元属于核：若 (A,⋆)(A, \star) 有幺元 eAe_A，则 eA∈Ker(f)e_A \in \text{Ker}(f)

   证明：由同态的性质，f(eA)f(e_A) 是 (B,∘)(B, \circ) 的幺元，即 f(eA)=eBf(e_A) = e_B， 因此 eA∈Ker(f)e_A \in \text{Ker}(f)

3. 正规子群性质：若 (A,⋆)(A, \star) 是群，则 Ker(f)\text{Ker}(f) 是 (A,⋆)(A, \star) 的正规子群

   证明：

   • 由性质1和2，Ker(f)\text{Ker}(f) 是非空的，并且对 ⋆\star 运算封闭

   • 对任意 a∈Ker(f)a \in \text{Ker}(f)，其逆元 a−1a^{-1} 满足：

     f(a−1)=f(a)−1=eB−1=eBf(a^{-1}) = f(a)^{-1} = e_B^{-1} = e_B

     因此 a−1∈Ker(f)a^{-1} \in \text{Ker}(f)

   • 对任意 x∈Ax \in A 和 a∈Ker(f)a \in \text{Ker}(f)：

     f(x⋆a⋆x−1)=f(x)∘f(a)∘f(x−1)=f(x)∘eB∘f(x)−1=f(x)∘f(x)−1=eBf(x \star a \star x^{-1}) = f(x) \circ f(a) \circ f(x^{-1}) = f(x) \circ e_B \circ f(x)^{-1} = f(x) \circ f(x)^{-1} = e_B

     因此 x⋆a⋆x−1∈Ker(f)x \star a \star x^{-1} \in \text{Ker}(f)，这证明了 Ker(f)\text{Ker}(f) 是正规子群

同态核与同构的关系

定理：设 f:(A,⋆)→(B,∘)f: (A, \star) \rightarrow (B, \circ) 是满同态，则 ff 是同构当且仅当 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\}。

证明：

• 若 ff 是同构，则 ff 是双射，特别是单射。对任意 a∈Aa \in A，若 f(a)=eBf(a) = e_B，则 a=eAa = e_A（因为 f(eA)=eBf(e_A) = e_B）。所以 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\}。

• 反之，若 Ker(f)={eA}\text{Ker}(f) = \{e_A\}，则对任意 a,b∈Aa, b \in A，如果 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则：

  f(a⋆b−1)=f(a)∘f(b)−1=f(a)∘f(a)−1=eBf(a \star b^{-1}) = f(a) \circ f(b)^{-1} = f(a) \circ f(a)^{-1} = e_B

  因此 a⋆b−1∈Ker(f)={eA}a \star b^{-1} \in \text{Ker}(f) = \{e_A\}，即 a⋆b−1=eAa \star b^{-1} = e_A，所以 a=ba = b。 这证明了 ff 是单射，结合 ff 是满射的条件，ff 是双射，即同构。

后记

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