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偏序关系

<A,≤><A,\leq>是偏序集:≤是A上自反,反对称,和传递关系(偏序).\leq 是A上自反,反对称,和传递关系(偏序).

偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来. 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.

偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界.偏序集中的重要元素:极大(小)元,最大(小)元,上(下)界,上(下)确界.

定义

<A,≤>是偏序集,如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有上确界和下确界,则称<A,≤>是格<A,\leq>是偏序集,如果任何a,b \in A,使得 \{a,b\}都有\\上确界和下确界,则称<A,\leq>是格

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平凡格

所有的全序都是格,称之为平凡格.

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由格诱导的代数系统设<A,⪯>是格，在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈Aa∨b=LUB{a,b},{a,b}的最小上界。LeastUpperBounda∧b=GLB{a,b},{a,b}的最大下界。GreatestLowerBound称<A,∨,∧>是由格<A,⪯>诱导的代数系统。(∨−并,∧−交)\mathbf{ \begin{aligned} &\text{由格诱导的代数系统} \\ &设<A,\preceq>是格，在A上定义二元运算\lor和\land为: \forall a,b\in A \\ &a\lor b = \text{LUB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最小上界。Least Upper Bound \\ &a\land b = \text{GLB} \{a,b\}, \quad \{a,b\}的最大下界。Greatest Lower Bound \\ &称<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。(\lor-并,\land-交) \end{aligned} } 子格设<A,∨,∧>是由格<A,⪯>诱导的代数系统。B是A的非空子集，如果∧和∨在B上封闭，则称<B,⪯>是<A,⪯>的子格。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{子格} \\ &设<A,\lor,\land>是由格<A,\preceq>诱导的代数系统。B是A的非空子集， \\ &如果\land和\lor在B上封闭，则称<B,\preceq>是<A,\preceq>的子格。 \end{aligned} } 格的对偶如果将命题(P)中的⩽换成⩾，∧换成∨，∨换成∧，得到命题(P′)，称(P′)为(P)的对偶命题。对偶原理：如果(P)对任何格为真，则(P′)对任何格也为真。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{格的对偶} \\ &如果将命题 (P) 中的 \leqslant 换成 \geqslant，\land 换成 \lor，\lor 换成 \land，得到命题 (P')，称 (P') 为 (P) 的对偶命题。 \\ &对偶原理：如果 (P) 对任何格为真，则 (P') 对任何格也为真。 \end{aligned} }

格的同态与同构

三. 格的同态与同构设<A1,⩽1> 和 <A2,⩽2> 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 <A1,∨1,∧1> 和 <A2,∨2,∧2>, 如果存在映射 f:A1→A2 使得对任何 a,b∈A1,f(a∨1b)=f(a)∨2f(b)f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)则称f 是 <A1,∨1,∧1> 到 <A2,∨2,∧2> 的同态映射。也称 <f(A1),⩽2> 是 <A1,⩽1> 的同态像。如果 f 是双射，就称 f 是 <A1,∨1,∧1> 到 <A2,∨2,∧2> 的格同构，也称格 <A1,⩽1> 和 <A2,⩽2> 同构。\mathbf{ \begin{aligned} &\text{三. 格的同态与同构} \\ &\text{设} <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 是两个格，由它们诱导的代数系统分别是 } \\ &<A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 和 } <A_2,\lor_2,\land_2>, \text{ 如果存在映射 } f:A_1\rightarrow A_2 \text{ 使得对任何 } a,b\in A_1, \\ &\quad f(a\lor_1 b)=f(a)\lor_2 f(b) \\ &\quad f(a\land_1 b)=f(a)\land_2 f(b) \\ &\text{则称} f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的同态映射。} \\ &\text{也称 } <f(A_1),\leqslant_2> \text{ 是 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 的同态像。} \\ &\text{如果 } f \text{ 是双射，就称 } f \text{ 是 } <A_1,\lor_1,\land_1> \text{ 到 } <A_2,\lor_2,\land_2> \text{ 的格同构，} \\ &\text{也称格 } <A_1,\leqslant_1> \text{ 和 } <A_2,\leqslant_2> \text{ 同构。} \end{aligned} }