Eigen 使用教程

又见苍岚

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Eigen 使用教程

Yiwei Zhang · 2023-01-12 · via 又见苍岚

Eigen 是开源的C++线性代数库，常用在计算机图形学中，之前我们记录了安装使用方法，本文记录常用功能使用方法。

动态矩阵、静态二维矩阵

Eigen 官方代码支持的最高维度为二维矩阵，后文的矩阵、数组均为二维。
Eigen 在编译期间确定尺寸的矩阵为静态矩阵，运行期间确定尺寸的为动态矩阵（数据类型中带有X）
选用原则：
- 对于非常小尺寸的矩阵，尽可能使用固定尺寸，特别是小于(大约)16的尺寸，使用固定尺寸对性能非常有益，因为它允许 Eigen 避免动态内存分配和展开循环; 对于小尺寸在内部，一个固定大小的特征矩阵只是一个普通的数组。
- 对于较大尺寸，或者在必须使用动态尺寸的地方，尽量使用动态尺寸。当矩阵尺寸大于（大约）32时，静态矩阵的性能收益变得可以忽略，而且对于动态矩阵，Eigen 更倾向于尝试使用 SIMD 指令集加速运算。

模板类

Eigen 中有几个基础数据结构模板类

Matrix类

所有矩阵和向量都是Matrix模板类的对象，Matrix类有6个模板参数，主要使用前三个，剩下的使用默认值。
MaxRowsAtCompileTime 和MaxColsAtCompileTime 在已知动态矩阵的尺寸上界时是可以提升工作效率的。

Matrix<typename Scalar, 
       int RowsAtCompileTime, 
       int ColsAtCompileTime,
       int Options = 0,
       int MaxRowsAtCompileTime = RowsAtCompileTime,
       int MaxColsAtCompileTime = ColsAtCompileTime>
# Scalar 元素类型
# RowsAtCompileTime 行
# ColsAtCompileTime 列
# 例 typedef Matrix<int, 3, 3> Matrix3i;
# Options 比特标志位
# MaxRowsAtCompileTime和MaxColsAtCompileTime表示在编译阶段矩阵的上限。# 列向量
typedef Matrix<double, 3, 1> Vector3d;
# 行向量
typedef Matrix<float, 1, 3> RowVector3f;
# 动态大小
typedef Matrix<double, Dynamic, Dynamic> MatrixXd;
typedef Matrix<float, Dynamic, 1> VectorXf;
type

默认构造时，指定大小的矩阵，只分配相应大小的空间，不进行初始化。动态大小的矩阵，则未分配空间。
[]操作符可以用于向量元素的获取，但不能用于matrix。
matrix的大小可以通过rows(), cols(), size()获取，resize()可以重新调整矩阵大小。
Matrix 定义的矩阵为静态矩阵，在编译时确定尺寸、分配内存，随机初始化：

Matrix<int, 3, 3> a;
cout << a;-->
1284850368      32759          1
     32759         31          0
1284845929          0          0

MatrixX 开头的为动态矩阵，两个维度都可以变化，本质为 Matrix<Type, Dynamic, Dynamic> 定义的类型
例如： MatrixXd 为 double 类型的动态矩阵
1
2
3
4
5
6
7
MatrixXd a(3, 3); cout << a;--> 0 0 0 0 0 0 0 0 0
静态矩阵运算很快，但是有 128k 的堆栈尺寸限制，常用的还是动态矩阵类型
仅变化一个维度的动态矩阵为动态向量 typedef Matrix<float, Dynamic, 1> VectorXf，使用方法类似

Array类

Array是类模板，前三个参数必须指定，后三个参数可选。

Array<typename Scalar,
      int RowsAtCompileTime,
      int ColsAtCompileTime>
# 常见类定义
typedef Array<float, Dynamic, 1> ArrayXf
typedef Array<float, 3, 1> Array3f
typedef Array<double, Dynamic, Dynamic> ArrayXXd
typedef Array<double, 3, 3> Array33dArrayXf a = ArrayXf::Random(5);
a.abs();    # 绝对值
a.sqrt();    # 平方根
a.min(a.abs().sqrt());  # 两个array相应元素的最小值

类似于 Matrix 类，Array 默认仍会产生静态数组

Array<int, 3, 3> a;
cout << a;-->
-412990784      32758          1
     32758         31          0
-412995223          0          0

一维动态数组为 ArrayX 开头，二维动态数组为 ArrayXX 开头

ArrayXXi  a(3, 3);
cout << a;-->
6357107 7471220 4522044
7929971 6422621 6029371
7667805 7209066 7471185

Array 和 Martix 的区别

Martix 表示的是矩阵，运算为矩阵运算，运算时尺寸需要遵循矩阵运算规则
Array 和 Matrix 数据组成相同，但运算规则为逐元素运算，需要相同尺寸数据进行运算

Array 和 Martix 的转换

Matrix对象——>Array对象：.array()函数
Array对象——>Matrix对象：.matrix()函数

初始化

建议矩阵数据都要初始化，不然是十分危险的。

默认初始化

默认初始化为随机数：

ArrayXXi  a(2, 4);
cout << a;-->
7602273 7209025 7209071 3014707
6029409 6488161 6357092 3014712

赋值初始化

Matrix<int, 5, 1> b {1, 2, 3, 4, 5};
Matrix<double, 2, 3> b {
      {2, 3, 4},
      {5, 6, 7},
};
VectorXd a {{1.5, 2.5, 3.5}};
RowVectorXd b {{1.0, 2.0, 3.0, 4.0}};

对象初始化

可以用其他对象初始化新的相同内容对象

Eigen::MatrixXf m(4, 4);m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;
MatrixXf n(m);
m.block(0, 0, 2, 2).swap(n.block(2, 2, 2, 2));
cout << m;
-->
    11 12  3  4
15 16  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16

逗号初始化

为矩阵元素赋值，顺序是从左到右，从上到下，数目必须匹配。

ArrayXXi  a(2, 3);
a << 1, 2, 3, 4, 5, 6;
cout << a << endl << endl;ArrayXXi  b(2, 2);
b << 7, 8, 9, 10;
cout << b << endl << endl;
ArrayXXi  c(4, 7);
c << b, a, b, a, b, b;
cout << c << endl << endl;
-->
1 2 3
4 5 6
 7  8
 9 10
 7  8  1  2  3  7  8
 9 10  4  5  6  9 10
 1  2  3  7  8  7  8
 4  5  6  9 10  9 10

特殊矩阵初始化

静态矩阵

一下几个函数均为静态矩阵调用的初始化函数，动态矩阵调用会报错：
1
YOU CALLED A_FIXED SIZE METHOD ON A DYNAMIC SIZE MATRIX OR VECTOR

零阵：类静态成员函数Zero()
常量矩阵：Constant(rows, cols, value)
随机矩阵：Random()
单位矩阵：Identity()

Matrix<int, 3, 3> a;
cout << a << endl << endl;a = a.Zero();
cout << a << endl << endl;
a = a.Constant(3, 3, 7);
cout << a << endl << endl;
a = a.Random();
cout << a << endl << endl;
a = a.Identity();
cout << a << endl << endl;
-->
1028866792      32759          1
     32759         31          0
1028862809          0          0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
7 7 7
7 7 7
7 7 7
-16343  10116  -4906
  2083   2785  12974
-10050   -660  10578
1 0 0
0 1 0
0 0 1

动态矩阵

函数	含义
`setZero()`	矩阵归零
`setConstant`()	矩阵归常数
`setIdentity`()	矩阵归单位阵
`setOnes`()	矩阵归一
`setRandom`()	矩阵随机数

MatrixXi a(3, 3);
cout << a << endl << endl;
a.setZero();
cout << a << endl << endl;
a.setConstant(2);
cout << a << endl << endl;
a.setIdentity();
cout << a << endl << endl;
a.setOnes();
cout << a << endl << endl;
a.setRandom();
cout << a << endl << endl;-->
5701724 7536759 6619252
7209065 5439580 3342445
7274596 7536761 6029362
0 0 0
0 0 0
0 0 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-16343  10116  -4906
  2083   2785  12974
-10050   -660  10578

动态向量函数

仅能在向量类型数据中使用

函数	含义
`setLinSpaced()`	填充线性间隔的数据
`setUnit()`	指定向量位置数据置1，其余为0

RowVectorXf b(8);
cout << b << endl << endl;
b.setLinSpaced(0, 14);
cout << b << endl << endl;
b.setUnit(3);
cout << b << endl << endl;
b.setOnes();
cout << b << endl << endl;
b.setConstant(2);
cout << b << endl << endl;-->
9.91839e-39 9.64288e-39 8.44903e-39 7.80611e-39  5.9694e-39 1.08367e-38 4.50001e-39     4.5e-39
0  2  4  6  8 10 12 14
0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2

索引数据

单个数据

主要数据的存取和修改都是通过重载的括号运算符完成的
对于二维矩阵，下标顺序为 row col

对于向量，则只有向量下标需要传入

MatrixXd m(2,2);
m(0,0) = 3;
m(1,0) = 2.5;
m(0,1) = -1;
m(1,1) = m(1,0) + m(0,1);
cout << m;-->
  3  -1
2.5 1.5

块操作

语法：

块	动态矩阵	静态矩阵
尺寸 (p, q) 左上角坐标 (i, j)	`matrix.block(i,j,p,q);`	`matrix.block<p,q>(i,j);`

示例：

Eigen::MatrixXf m(4, 4);
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;m.block<2, 2>(0, 0) = m.block<2, 2>(0, 0) * 3;
m.block<2, 2>(2, 2).setConstant(0);
cout << m << endl << endl;
-->
18 21  3  4
30 33  7  8
 9 10  0  0
13 14  0  0

行列操作

语法：

操作	方法
第 i 行	`matrix.row(i);`
第 i 列	`matrix.col(j);`

示例：

Eigen::MatrixXf m(3, 3);
m << 1, 2, 3,
4, 5, 6,
7, 8, 9;
cout << "Here is the matrix m:" << endl << m << endl;
cout << "2nd Row: " << m.row(1) << endl;
m.col(2) += 3 * m.col(0);
cout << "After adding 3 times the first column into the third column, the matrix m is:\n";
cout << m << endl;-->
Here is the matrix m:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2nd Row: 4 5 6
After adding 3 times the first column into the third column, the matrix m is:
 1  2  6
 4  5 18
 7  8 30

角操作

语法：

块操作	动态矩阵语法	静态矩阵语法
左上角 p 行 q 列	`matrix.topLeftCorner(p,q);`	`matrix.topLeftCorner<p,q>();`
左下角 p 行 q 列	`matrix.bottomLeftCorner(p,q);`	`matrix.bottomLeftCorner<p,q>();`
右上角 p 行 q 列	`matrix.topRightCorner(p,q);`	`matrix.topRightCorner<p,q>();`
右下角 p 行 q 列	`matrix.bottomRightCorner(p,q);`	`matrix.bottomRightCorner<p,q>();`
前 q 行	`matrix.topRows(q);`	`matrix.topRows<q>();`
后 q 行	`matrix.bottomRows(q);`	`matrix.bottomRows<q>();`
前 p 列	`matrix.leftCols(p);`	`matrix.leftCols<p>();`
后 p 列	`matrix.rightCols(q);`	`matrix.rightCols<q>();`
第 i 列开始取 q 列	`matrix.middleCols(i,q);`	`matrix.middleCols<q>(i);`
第 i 行开始取 q 行	`matrix.middleRows(i,q);`	`matrix.middleRows<q>(i);`

示例：

Eigen::Matrix4f m;
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10,11,12,
13,14,15,16;
cout << "m.leftCols(2) =" << endl << m.leftCols(2) << endl << endl;
cout << "m.bottomRows<2>() =" << endl << m.bottomRows<2>() << endl << endl;
m.topLeftCorner(1,3) = m.bottomRightCorner(3,1).transpose();
cout << "After assignment, m = " << endl << m << endl;-->
m.leftCols(2) =
 1  2
 5  6
 9 10
13 14
m.bottomRows<2>() =
 9 10 11 12
13 14 15 16
After assignment, m =
 8 12 16  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16

向量块操作

块操作	动态矩阵语法	静态矩阵语法
向量前 n 个数据	`vector.head(n);`	`vector.head<n>();`
向量后 n 个数据	`vector.tail(n);`	`vector.tail<n>();`
向量从下标 i 开始的 n 个数据	`vector.segment(i,n);`	`vector.segment<n>(i);`

常用操作

大多数情况下，Eigen 要求操作的数据类型一致

布尔归约

操作	语法	示例
转置	`.transpose()`	`v.transpose()`
所有元素为 true(非0)，返回 bool 值	`all()`	`m.all()`
存在元素为 true(非0)，返回 bool 值	`any()`	`m.any()`
统计 true(非0) 的个数	`count()`	`m.count()`

数据类型转换

操作	语法	示例
数据类型转换为 double	`.cast<double>()`	`A.cast<double>()`
数据类型转换为 float	`.cast<float>()`	`A.cast<float>()`
数据类型转换为 int	`.cast<int>()`	`A.cast<int>()`
数据类型转换为实部	`.real()`	`A.real()`
数据类型转换为虚部	`.imag()`	`A.imag()`
内存数据转 Eigen	`Map<>()`	`Map<Matrix3i>(array)`

内存数据转 Eigen：

int array[9];
for (int i = 0; i < 9; ++i) {
array[i] = i;
}
cout << Map<Matrix3i>(array).transpose() << endl;-->
0 1 2
3 4 5
6 7 8

Vector 向量操作

操作	语法	示例
点乘	`dot()`	`v.dot(w)`
叉乘	`.cross()`	`v.cross(w)`
元素个数	`.size()`	`v.size()`
生成对角阵	`.asDiagonal()`	`v.asDiagonal()`
向量平方和	`.squaredNorm()`	`v.squaredNorm()`
向量模长	`.norm()`	`v.norm()`

Matrix 矩阵操作

操作	语法	示例
转置	`.transpose()`	`v.transpose()`
共轭	`.conjugate()`	`a.conjugate()`
共轭转置	`.adjoint()`	`a.adjoint()`
元素个数	`.size()`	`a.size()`
行数	`.rows()`	`a.rows()`
列数	`.rols()`	`a.rols()`
填充	`.fill()`	`a.fill(6)`
交换行/列	`.swap()`	`m.block(0, 0, 2, 2).swap(n.block(2, 2, 2, 2));`
获取对角线	`.diagonal()`	`a.diagonal()`
列向操作	`.colwise()`	`m.colwise().sum()`
元素颠倒	`.reverse()`	`m.reverse()`

赋值经过优化：

行可以给列赋值，这个其实还是挺可怕的，需要格外小心。

Eigen::MatrixXf m(4, 4);
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;
m.row(0) = m.col(3);
cout << m;-->
 4  8 12 16
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16

列向操作相当于 numpy 中的 axis=1，只对列方向做某种操作：

Eigen::MatrixXf m(4, 4);
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;cout << "Here is the matrix m:" << endl << m << endl;
cout << "Here is the sum of each column:" << endl << m.colwise().sum() << endl;
cout << "Here is the maximum absolute value of each column:"
<< endl << m.cwiseAbs().colwise().maxCoeff() << endl;
-->
Here is the matrix m:
 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15 16
Here is the sum of each column:
28 32 36 40
Here is the maximum absolute value of each column:
13 14 15 16

Matrix 矩阵运算

操作	语法	示例
矩阵相加	+	`a + b`
矩阵相减	-	`a - b`
负号	-	`- a`
复合算子加	+=	`a += b`
复合算子减	-=	`a -= b`
标量乘法	*	`matrixscalar` / `scalarmatrix`
标量除法	/	`matrix/scalar`
复合算子乘	*=	`matrix*=scalar`
复合算子除	/=	`matrix/=scalar`
矩阵\向量乘法	*	`matrixmatrix, matrixvector`
矩阵求和	`.sum()`	`mat.sum()`
所有元素乘积	`.prod()`	`mat.prod()`
矩阵均值	`.mean()`	`mat.mean()`
矩阵最小值	`.minCoeff()`	`mat.minCoeff()`
矩阵最大值	`.maxCoeff()`	`mat.maxCoeff()`
矩阵最小值，带位置	`.minCoeff(&r, &c)`	`mat.minCoeff(&r, &c)`
矩阵最大值，带位置	`.maxCoeff(&r, &c)`	`mat.maxCoeff(&r, &c)`
迹	`.trace()`	`mat.trace()`
逐元素绝对值	`.cwiseAbs()`	`mat.cwiseAbs()`
逐元素相乘	`.cwiseProduct()`	`mat = mat.cwiseProduct(mat)`
逐元素相除	`.cwiseQuotient()`	`mat = mat.cwiseQuotient(mat)`
逐元素取倒数	`.cwiseInverse()`	`mat.cwiseInverse()`
逐元素开根号	`.cwiseSqrt()`	`mat.cwiseSqrt()`
逐元素最大值	`.cwiseMax(m)`	`mat.cwiseMax(mat2)`
逐元素最小值	`.cwiseMin(m)`	`mat.cwiseMin(mat2)`
元素平方和	`.squaredNorm()`	`mat.squaredNorm()`
矩阵二阶范数	`.norm()`	`mat.norm()`
p 阶范数	`.lpNorm<p>()`	`mat.lpNorm<3>()`

最大值、最小值

返回最大、最小值，同时定位位置

Matrix3f m = Matrix3f::Random();
std::ptrdiff_t i, j;
float minOfM = m.minCoeff(&i,&j);
cout << "Here is the matrix m:\n" << m << endl;
cout << "Its minimum coefficient (" << minOfM 
<< ") is at position (" << i << "," << j << ")\n\n";RowVector4i v = RowVector4i::Random();
int maxOfV = v.maxCoeff(&i);
cout << "Here is the vector v: " << v << endl;
cout << "Its maximum coefficient (" << maxOfV 
<< ") is at position " << i << endl;
-->
Here is the matrix m:
 -0.997497   0.617481  -0.299417
  0.127171   0.170019   0.791925
 -0.613392 -0.0402539    0.64568
Its minimum coefficient (-0.997497) is at position (0,0)

Here is the vector v:   8080 -10679  11761   6897
Its maximum coefficient (11761) is at position 2

Array 数组运算

操作	语法	示例
逐元素相乘	*	`a * b`
逐元素相除	/	`a * b`
矩阵相加	+	`a + b`
矩阵相减	-	`a - b`
负号	-	`- a`
复合算子加	+=	`a += b`
复合算子减	-=	`a -= b`
逐元素比较	<, >, >=, <=, ==	`a < b`
逐元素标量计算	+, -, *, /	`a + 3`
逐元素标量复合计算	+=, -=, *=, /=	`a /= 3`
逐元素取倒数	`.inverse()`	`a.inverse()`
逐元素 sin	`.sin()`	`a.sin()`
逐元素 cos	`.cos()`	`a.cos()`
逐元素乘方	`.pow(s)`	`a.pow(3)`
逐元素平方	`.square()`	`a.square()`
逐元素立方	`.cube()`	`a.cube()`
逐元素开根号	`.sqrt()`	`a.sqrt()`
逐元素计算自然指数	`.exp()`	`a.exp()`
逐元素计算自然对数	`.log()`	`a.log()`
逐元素最小值	`.min()`	`a.min(b)`
逐元素最大值	`.max()`	`a.max(b)`
逐元素绝对值	`.abs()`	`a.abs()`
逐元素选择	`.select()`	`(R.array() < s).select(P,Q)`

逐元素比较：

Eigen::MatrixXf m(4, 4);
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;cout << (m.array() > m.reverse().array());
-->
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1

逐元素选择：

Eigen::MatrixXf m(4, 4);
m << 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12,
13, 14, 15, 16;MatrixXf n(4, 4), p(4, 4);
n.setZero();
p = (m.array() < 10).select(m, n);
cout << p;
-->
1 2 3 4
5 6 7 8
9 0 0 0
0 0 0 0

矩阵分解与解线性方程组

矩阵分解

分解方法	语法	输出
柯列斯基分解	`.ldlt()`	`.matrixL() and .matrixD()`
LLT 分解	`.llt()`	`.matrixL()`
部分旋转的 LU分解	`.lu()`	`.matrixL() and .matrixU()`
QR 分解	`.qr()`	`.matrixQ() and .matrixR()`
SVD 分解	`.svd()`	`.matrixU(), .singularValues(), and .matrixV()`

求解线性方程组

对应不同矩阵分解方式，有不同的解方程组的方法

语法	描述
`x = A.ldlt().solve(b));`	`A sym. p.s.d. #include <Eigen/Cholesky>`
`x = A.llt() .solve(b));`	`A sym. p.d. #include <Eigen/Cholesky>`
`x = A.lu() .solve(b));`	`Stable and fast. #include <Eigen/LU>`
`x = A.qr() .solve(b));`	`No pivoting. #include <Eigen/QR>`
`x = A.svd() .solve(b));`	`Stable, slowest. #include <Eigen/SVD>`

特征值特征向量

特征值：
1
A.eigenvalues();
特征向量：
1
eig.eigenvectors();

混淆问题

使用eval()函数解决把右值赋值为一个临时矩阵，再赋给左值时可能有造成的混淆。如：

1
2
3

MatrixXi mat(3,3);
mat << 1,2,3, 4,5,6, 7,8,9;
mat.bottomRightCorner(2,2) = mat.topLeftCorner(2,2).eval();

原地操作的一类函数：

普通函数	inplace函数
MatrixBase::adjoint()	MatrixBase::adjointInPlace()
DenseBase::reverse()	DenseBase::reverseInPlace()
LDLT::solve()	LDLT::solveInPlace()
LLT::solve()	LLT::solveInPlace()
TriangularView::solve()	TriangularView::solveInPlace()
DenseBase::transpose()	DenseBase::transposeInPlace()

当相同的矩阵或array出现在等式左右时，容易出现混淆
当确定不会出现混淆时，可以使用noalias()
混淆出现时，可以使用eval()和xxxInPlace()函数解决

参考资料

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/coding/cpp/eigen/eigen-usage/

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索引数据

单个数据

块操作

行列操作

角操作

向量块操作

常用操作

布尔归约

数据类型转换

Vector 向量操作

Matrix 矩阵操作

Matrix 矩阵运算

Array 数组运算

矩阵分解与解线性方程组

矩阵分解

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特征值特征向量

混淆问题

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