特征值和特征向量是矩阵的重要性质，本文记录相关内容。
我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。
关于特征值和特征向量，这里请注意两个亮点。这两个亮点一个是线性不变量的含义，二个是振动的谱含义。
——《线性代数的几何意义》
定义
- 对于一个给定的方阵 ${\displaystyle A}$，定义它的特征向量（eigenvector，也译固有向量、本征向量）为非零向量${\displaystyle v}$ ，$v$ 经过这个线性变换${\displaystyle A}$之后，得到的新向量仍然与原来的 ${\displaystyle v}$ 保持在同一条直线上，但其长度或方向也许会改变，公式表示为：
$$
A v = \lambda v
$$
- $\lambda$ 为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称 ${\displaystyle \lambda }$ 为方阵 $A$ (或线性变换 $A$) 的特征值（eigenvalue，也译固有值、本征值）。
- 解得的 ${\displaystyle \lambda }$ 可能为重根，那么这个根重复的次数为 ${\displaystyle \lambda }$ 的代数重数。
如果特征值为正，则表示 ${\displaystyle v}$ 在经过线性变换的作用后方向也不变；如果特征值为负，说明方向会反转；如果特征值为0，则是表示缩回零点。但无论怎样，仍在同一条直线上。
- 特征值 $\lambda$ 解得的所有非零向量 $v$ 均可称为 $A$ 的特征向量，可以看作是关于系数 ${\displaystyle \lambda }$ 的方程的非零解：
$$
\mathbf{T}(x)=\lambda x
$$
-
矩阵的特征向量不是固定的，特征值 ${\displaystyle \lambda }$ 对应的所有特征向量和零向量一起可以组成一个向量空间，这个空间称为 $A$ 的一个特征空间。
-
这个特征空间如果是有限维的，那么它的维数叫做 ${\displaystyle \lambda }$ 的几何重数。
-
模最大的特征值对应的特征向量为 ${\displaystyle A}$ 的主特征向量。
-
有限维向量空间上的一个变换 ${\displaystyle A}$ 的所有特征值的集合称为 $A$ 的谱。
计算特征值/特征向量
- $\mathbf {A}$ 的特征向量 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ，按照定义，是在变换 ${\displaystyle \mathbf {A} }$的作用下会得到$\mathbf {x}$ 自身的若干倍的非零向量。假设在 ${\displaystyle \mathbf {A} }$的作用下${\displaystyle \mathbf {x} }$ 变成了自身的 ${\displaystyle \lambda }$，也就是
$$
\mathbf{A} \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}
$$
$$
\begin{array}
\mathbf{I A} \mathbf{x}=\mathbf{I} \cdot \lambda \mathbf{x} \\
\mathbf{A} \mathbf{x}=(\lambda I) \mathbf{x}
\end{array}
$$
$$
(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) \mathbf{x}=0
$$
- 根据线性方程组理论，为了使这个方程有非零解，矩阵 ${\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }$的行列式必须是零：
$$
\operatorname{det}(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0
$$
- 按照行列式的展开定义，上面式子的左端是一个关于 ${\displaystyle \lambda }$ 的多项式，称为特征多项式。这个多项式的系数只和 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 有关。
- 若$A $ 是一个 $n×n $矩阵，则 ${\displaystyle p_{A}}$ 为 $n$ 次多项式，因而 $A$ 最多有 $n$ 个特征值。
- 如果A的系数是在一个代数闭域里面（比如说复数域），那么代数基本定理说明这个方程刚好有 $n$ 个根（如果重根也计算在内的话）。
- 所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此当 $n$ 为奇数的时候，每个n维实系数矩阵至少有一个实数特征值。当矩阵系数是实数的时候，非实数的特征值会成共轭对出现。
- 一旦找到特征值λ，相应的特征向量就可以通过求解如下方程得到：
$$
(A-\lambda I) v=0
$$
特点
- 只有方阵才有特征值和特征向量
- 不同特征值对应的特征向量是线性无关的
- 方阵总有特征值， 实系数的矩阵不一定有实数特征值
$$
\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]
$$
- 对于 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 来说，复数域上特征值的代数重数的和为 $n$，几何重数小于等于代数重数，若几何重数小于代数重数则无法进行特征值分解
$$
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]
$$
- 它只有一个特征值，也就是 $λ = 1$。
- 其特征多项式是 $(\lambda-1)^2$，所以这个特征值代数重次为2。
- 但是，相应特征空间是通常称为 $x$ 轴的数轴，由向量 $ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ 线性生成，所以几何重数是1。
- 该矩阵无法进行特征分解，即找不到 2 个正交的特征向量
-
一个 $n×n$ 矩阵如果有 $n$不同特征值，则总是可以对角化的。
-
因为迹，也就是矩阵主对角线元素之和，在酉等价下不变，若尔当标准型说明它等于所有特征值之和。
-
对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）
参考资料
文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/linear-algebra/basic-knowledge/eigenvalues-and-eigenvectors/eigenvalues-and-eigenvectors/
