本文介绍张量自动求导的基本知识 。

参考 深入浅出PyTorch ，系统补齐基础知识。

本节目录

• autograd的求导机制
• 梯度的反向传播

前言

PyTorch 中，所有神经网络的核心是 autograd 包。autograd 包为张量上的所有操作提供了自动求导机制。它是一个在运行时定义 ( define-by-run ）的框架，这意味着反向传播是根据代码如何运行来决定的，并且每次迭代可以是不同的。

Autograd

torch.Tensor 是这个包的核心类。如果设置它的属性 .requires_grad 为 True，那么它将会追踪对于该张量的所有操作。当完成计算后可以通过调用 .backward()，来自动计算所有的梯度。这个张量的所有梯度将会自动累加到.grad属性。

注意：在 y.backward() 时，如果 y 是标量，则不需要为 backward() 传入任何参数；否则，需要传入一个与 y 同形的 Tensor。

阻止梯度

要阻止一个张量被跟踪历史，可以调用.detach()方法将其与计算历史分离，并阻止它未来的计算记录被跟踪。为了防止跟踪历史记录(和使用内存），可以将代码块包装在 with torch.no_grad(): 中。在评估模型时特别有用，因为模型可能具有 requires_grad = True 的可训练的参数，但是我们不需要在此过程中对他们进行梯度计算。

Function

还有一个类对于autograd的实现非常重要：Function。Tensor 和 Function 互相连接生成了一个无环图 (acyclic graph)，它编码了完整的计算历史。每个张量都有一个.grad_fn属性，该属性引用了创建 Tensor 自身的Function(除非这个张量是用户手动创建的，即这个张量的grad_fn是 None )。下面给出的例子中，张量由用户手动创建，因此grad_fn返回结果是None。

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from __future__ import print_function
import torch
x = torch.randn(3,3,requires_grad=True)
print(x.grad_fn)
None

计算导数

如果需要计算导数，可以在 Tensor 上调用 .backward()。如果 Tensor 是一个标量(即它包含一个元素的数据），则不需要为 backward() 指定任何参数，但是如果它有更多的元素，则需要指定一个gradient参数，该参数是形状匹配的张量。

创建一个张量并设置requires_grad=True用来追踪其计算历史

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x = torch.ones(2, 2, requires_grad=True)
print(x)
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]], requires_grad=True)

对这个张量做一次运算：

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y = x**2
print(y)
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]], grad_fn=<PowBackward0>)

y是计算的结果，所以它有grad_fn属性。

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print(y.grad_fn)
<PowBackward0 object at 0x000001CB45988C70>

对 y 进行更多操作

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z = y * y * 3
out = z.mean()
print(z, out)
tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]], grad_fn=<MulBackward0>) tensor(3., grad_fn=<MeanBackward0>)

requires_grad_

.requires_grad_(...) 原地改变了现有张量的requires_grad标志。如果没有指定的话，默认输入的这个标志是 False。

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a = torch.randn(2, 2) # 缺失情况下默认 requires_grad = False
a = ((a * 3) / (a - 1))
print(a.requires_grad)
a.requires_grad_(True)
print(a.requires_grad)
b = (a * a).sum()
print(b.grad_fn)
False
True
<SumBackward0 object at 0x000001CB4A19FB50>

梯度

现在开始进行反向传播，因为 out 是一个标量，因此out.backward()和 out.backward(torch.tensor(1.)) 等价。

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out.backward()

输出导数 d(out)/dx

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print(x.grad)
tensor([[3., 3.],
        [3., 3.]])

数学上，若有向量函数 $ \vec{y}=f(\vec{x}) $ ，那么 $ \vec{y} $ 关于 $ \vec{x} $ 的梯度就是一个雅可比矩阵 :
$ J=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} \ \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}}\end{array}\right) $ 而 torch.autograd 这个包就是用来计算一些雅可比矩阵的乘积的。例如，如果

$ v $ 是一个标量函数 $ l=g(\vec{y}) $ 的梯度：$ v=\left(\begin{array}{lll}\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}\end{array}\right) $ 由链式法则，我们可以得到：
$$
v J=\left(\begin{array}{lll}
\frac{\partial l}{\partial y_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial y_{m}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial y 1}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{n}} \
\vdots & \ddots & \vdots \
\frac{\partial y_{m}}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial y_{m}}{\partial x_{n}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
\frac{\partial l}{\partial x_{1}} & \cdots & \frac{\partial l}{\partial x_{n}}
\end{array}\right)
$$

注意：grad 在反向传播过程中是累加的(accumulated)，这意味着每一次运行反向传播，梯度都会累加之前的梯度，所以一般在反向传播之前需把梯度清零。

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# 再来反向传播⼀一次，注意grad是累加的
out2 = x.sum()
out2.backward()
print(x.grad)
out3 = x.sum()
x.grad.data.zero_()
out3.backward()
print(x.grad)
tensor([[4., 4.],
        [4., 4.]])
tensor([[1., 1.],
        [1., 1.]])

现在我们来看一个雅可比向量积的例子：

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x = torch.randn(3, requires_grad=True)
print(x)
y = x * 2
i = 0
while y.data.norm() < 1000:
    y = y * 2
    i = i + 1
print(y)
print(i)
tensor([-0.9332,  1.9616,  0.1739], requires_grad=True)
tensor([-477.7843, 1004.3264,   89.0424], grad_fn=<MulBackward0>)
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在这种情况下，y 不再是标量。torch.autograd 不能直接计算完整的雅可比矩阵，但是如果我们只想要雅可比向量积，只需将这个向量作为参数传给 backward：

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v = torch.tensor([0.1, 1.0, 0.0001], dtype=torch.float)
y.backward(v)
print(x.grad)
tensor([5.1200e+01, 5.1200e+02, 5.1200e-02])

也可以通过将代码块包装在 with torch.no_grad(): 中，来阻止 autograd 跟踪设置了.requires_grad=True的张量的历史记录。

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print(x.requires_grad)
print((x ** 2).requires_grad)
with torch.no_grad():
    print((x ** 2).requires_grad)
True
True
False

如果我们想要修改 tensor 的数值，但是又不希望被 autograd 记录(即不会影响反向传播)， 那么我们可以对 tensor.data 进行操作。

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x = torch.ones(1,requires_grad=True)
print(x.data) # 还是一个tensor
print(x.data.requires_grad) # 但是已经是独立于计算图之外
y = 2 * x
x.data *= 100 # 只改变了值，不会记录在计算图，所以不会影响梯度传播
y.backward()
print(x) # 更改data的值也会影响tensor的值 
print(x.grad)
tensor([1.])
False
tensor([100.], requires_grad=True)
tensor([2.])

雅克比矩阵

向量对向量的求导结果是雅克比矩阵，比如如下代码：

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import torch
if __name__ == '__main__':
    x = torch.tensor([1,2,3], dtype=torch.float64, requires_grad=True)
    x1 = x ** 2
    y = 2 * x1
        print(x.grad)
    y.backward(torch.ones(3), retain_graph=True)
    print(x.grad)
    y.backward(torch.ones(3), retain_graph=False)
    print(x.grad)
    pass
-->
None
tensor([ 4.,  8., 12.], dtype=torch.float64)
tensor([ 8., 16., 24.], dtype=torch.float64)

可以看到，有 $ \vec{X} =[x_1,x_2,x_3] = [1,2,3]$ ，$ \vec{Y} = 2 \vec{X}^2 $
$$
\vec{Y} '= 4 \vec{X}
$$
因此雅克比矩阵为：
$$
\frac{\partial \vec{Y}}{\partial \vec{X}}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{3}} \ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{3}} \ \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial y_{3}}{\partial x_{3}}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 4&0&0\0 &8&0\0&0&12 \end{array}\right)
$$
然而这个雅可比矩阵无法直接落到 $\vec{X}$ 的梯度分量上，维度都不一样，因此需要降维，降维也得有个依据啊，因此需要用户输入与 $\vec{Y}$ 维度相同的权重向量，左乘到雅可比矩阵上。
$$
\left{\begin{array}{l}\frac{\partial o u t}{\partial a_{1}}=k_{1} * \frac{\partial \text { out }{1}}{\partial a{1}}+k_{2} * \frac{\partial o u t_{2}}{\partial a_{1}}+k_{3} * \frac{\partial o u t_{3}}{\partial a_{1}}+\ldots+k_{n} * \frac{\partial o u t_{n}}{\partial a_{1}} \ \frac{\partial o u t}{\partial a_{2}}=k_{1} * \frac{\partial o u_{1}}{\partial a_{2}}+k_{2} * \frac{\partial o u t_{2}}{\partial a_{2}}+k_{3} * \frac{\partial o u t_{3}}{\partial a_{2}}+\ldots+k_{n} * \frac{\partial o u t_{n}}{\partial a_{2}} \ \cdots \ \frac{\partial o u t}{\partial a_{n}}=k_{1} * \frac{\partial \text { out }{1}}{\partial a{n}}+k_{2} * \frac{\partial o u t_{2}}{\partial a_{n}}+k_{3} * \frac{\partial o u t_{3}}{\partial a_{n}}+\ldots+k_{n} * \frac{\partial o u t_{n}}{\partial a_{n}}\end{array}\right.
$$
因此对 $y$ 求导 backward 时，需要输入权重张量。

默认情况下求导后导数信息会被清空，其中 retain_graph 参数则可以保持梯度信息不丢失。

参考资料

• https://datawhalechina.github.io/thorough-pytorch/第二章/2.2 自动求导.html
• https://blog.csdn.net/sen873591769/article/details/89819762

文章链接：
https://www.zywvvd.com/notes/study/deep-learning/pytorch/torch-learning/torch-learning-2/