图像处理中会遇到需要计算物体朝向的情况，前文计算了二值图物体朝向，本文进一步放宽条件，计算灰度图像朝向。
按照根据投影计算二值图朝向的思路，在二值图中默认密度为1，因此在计算中忽略了图像的像素值，对于灰度图相当于薄板密度不再为1
于是可以通过计算加权距离，求解灰度图像体朝向
我们可以将该带密度的薄板理解为平面上的二维概率分布，即将整个图像每个像素值除以总质量，即得到了总和为1的 $x,y$ 的联合分布
当图中物体部分密度相同（非零），背景部分密度为 0 时，灰度图像朝向即坍缩为二值图的朝向计算问题
那么我们的目标是找到某个方向，使得该联合分布投影到这个方向得到的边缘分布方差最小，我们认为这个方向为与物体朝向垂直的方向。
$$
\textbf{x}=[x_1,x_2, …,x_N]^T, \textbf{y}=[y_1,y_2, …,y_N]^T
$$
合并为维度 $N \times 2$ 的矩阵 $\textbf{M} = [\textbf{x}, \textbf{y}]$
对应 $N$ 个点的密度 $[\rho_1,\rho_2, …,\rho_N]^T $
总质量为 $S=\sum_{n=1}^N\rho_n$
将原始图像转义为二维分布，$N$ 个点的概率密度为 $\textbf{p} =[p_1,p_2, …,p_N]^T $，其中 $p_i=\rho_i/S$
给定一条直线，直线过点 $(x_t, y_t)$，直线的法向量 $\textbf{v} = [a, b]^T$，该法向量为单位向量，有：
$$
a^ 2 + b ^2=1
$$
$$
[x-x_t,y-y_t]\textbf{v} = 0
$$
$$
d =[x-x_t,y-y_t]\textbf{v}
$$
$$ \begin{array}{c} \textbf{d} &= [\textbf{M}-[x_t,y_t]]\textbf{v}\\ &= \textbf{M}\textbf{v}- [x_t,y_t]\textbf{v} \end{array} $$
$$
d =[x,y]\textbf{v}-c，\textbf{d} = \textbf{M}\textbf{v}- c
$$
$$ \overline{d} = \sum_{i=1}^Np_i\textbf{m}_i\textbf{v}- c\\ =[\overline{x},\overline{y}]\textbf{v}- c $$
其中 $[\overline{x},\overline{y}]$ 为 $x,y$ 的期望向量
$$ \begin{array}{c} Var&=&\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (d_i-\overline{d})^2p_i\\ &=&\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N ([x_i,y_i]\textbf{v}-c-[\overline{x},\overline{y}]\textbf{v}+c)^2p_i\\ &=&\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N ([x_i-\overline{x},y_i-\overline{y}]\textbf{v})^2p_i \end{array} $$
$$ \begin{array}{c} Var&=&\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N ([x_i-\overline{x},y_i-\overline{y}]\textbf{v})^2p_i\\ &=&\frac{1}{N} (\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\textbf{v})^T(\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\textbf{v})\\ &=& \frac{1}{N} \textbf{v}^T\textbf{M}’^T\sqrt{\textbf{p}}\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\textbf{v} \end{array} $$
$$ \begin{array}{c} \frac{{\partial Var}}{{\partial {\bf{v}}}} = \frac{2}{N}\textbf{M}’^T\sqrt{\textbf{p}}\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\bf{v}= 0\\ \textbf{M}’^T\sqrt{\textbf{p}}\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\bf{v}= 0 \end{array} $$
因为这样做会得到 $\bf{v}$ 为零向量的平凡解，但是事实上 $\bf{v}$ 是有模长为 1 的约束的，因此我们需要解的是带约束的优化方程：
$$ \begin{array}{c} minimize \quad Var= \frac{1}{N} \textbf{v}^T\textbf{M}’^T\sqrt{\textbf{p}}\sqrt{\textbf{p}}^T\textbf{M}’\textbf{v}\\ subject \ to \quad \bf{v}^T\bf{v}-1=0 \end{array} $$$$ L =\bf{v}^TA\bf{v}+\lambda(\bf{v}^T\bf{v}-1) $$
$$ \begin{array}{c} 2A\bf{v}+2\lambda\bf{v}=0\\ A\bf{v}+\lambda\bf{v}=0\\ (A+\lambda I)\bf{v}=0 \end{array} $$
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