Iterative Algorithm, Another View 迭代算法，另一种观点

给定一个有 k 个节点的 CFG，迭代算法会更新每个节点 n 的 OUT[n] 值。那么我就可以考虑把这些值定义为一个 k-tuple：

\[(OUT[n_1],OUT[n_2],...,OUT[n_k])\in (V_1\times V_2 \times ...\times V_k) = V^k\]

则，我们的数据流分析迭代算法框架就可记为

迭代过程就被记为：

• $X_0 = (null, null, …, null)$
• $X_1 = (v_1^1,v_2^1,…,v_k^1) = F(X_0)$
• $X_2 = (v_1^2,v_2^2,…,v_k^2) = F(X_1)$
• …
• $X_i = (v_1^i,v_2^i,…,v_k^i) = F(X_{i-1})$
• $X_{i+1} = (v_1^i,v_2^i,…,v_k^i) = F(X_{i})$
• 此时我们发现$X_i =X_{i+1}$，意味着$X_i$就是$F$的一个不动点。

在这个框架下，我们就有一些想知道的问题：

• 算法是否确保一定能停止/达到不动点？会不会总是有一个解答？
• 如果能到达不动点，那么是不是只有一个不动点？如果有多个不动点，我们的结果是最优的吗？
• 什么时候我们会能得到不动点？

为了回答这个问题，我们需要先回顾一些数学。

Partial Order 部分定理

所谓偏序集合（poset），就是一个由集合 $P$ 和偏序关系$\sqsubseteq$所组成$(P, \sqsubseteq)$对。这个对满足以下三个条件：

• Reflexivity 自反性：x $\sqsubseteq$ x
• Antisymmetry 反对称性：x $\sqsubseteq$ y, y $\sqsubseteq$ x, 则 x = y
• Transitivity 传递性：x $\sqsubseteq$ y, y $\sqsubseteq$ z, 则 x $\sqsubseteq$ z
• 例子：小于等于关系就是一个偏序关系，但小于关系不是偏序关系，它是全序关系。

偏序关系与全序关系的区别在于，全序关系可以让任意两个元素比较，而偏序关系不保证所有元素都能进行比较。

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Upper and Lower Bounds 上界和下界

对于偏序集中的某子集 S 来说：

• 若存在元素 u 使得 S 的任意元素 x 有 x $\sqsubseteq$ u，那么我们说 u 是 S 的上界（Upper bound）。
• 同理，若存在元素 l 使得 S 的任意元素 x 有 l $\sqsubseteq$ x，那么我们说 l 是 S 的下界（Lower bound）。

然后我们衍生出最小上界和最大下界的概念：

• 在 S 的所有上界中，我们记最小上界（Least upper bound, lub）为$\sqcup S$，满足所有上界 u 对 lub 有： $\sqcup S \sqsubseteq u$
• 类似地我们也能定义出最大下界（Greatest lower bound, glb）为$\sqcap S$。

当 S 的元素个数只有两个{a, b}时，我们还可以有另一种记法：

• 最小上界：$a \sqcup b$, a join b
• 最大下界：$a \sqcap b$, a meet b

并不是每个偏序集都有 lub 和 glb，但是如果有，那么该 lub, glb 将是唯一的。（可假设存在多个，然后用自反性证明它们是同一个）

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Lattice, Semilattice, Complete and Product Lattic 格子、半格子、完全格子和产品格子

给定一个偏序集，如果任意元素 a, b 都有 lub和glb，那么这么偏序集就叫做 格（lattice）。

• 属于 lattice 的：小于等于关系，子集关系
• 不属于 lattice 的：子串关系

如果在此之上更加严格一些，任意集合都存在 lub 和 glb，那么我们说这个 lattice 为“全格（complete lattice）”

• 属于全格的：子集关系
• 不属于全格的：小于等于关系，因为全体正整数没有一个边界

每一个全格都存在着最大元素$\top$ (top)和最小元素$\bot$ (bottom)，他们分别是整个集合的 lub 和 glb。

如果一个 lattice 是有穷的，那么它一定是一个全格。

然而，一个全格不一定是有穷的，例如[0, 1]之间的实数是无穷的，但是期间的小于等于关系可以使其成为全格。

另外还有 Product Lattice，多个 lattice 的笛卡尔积也能形成一个新的 lattice。

需要记住的是：

• product lattice 也是一个 lattice
• 如果 product lattice L是全格的积，那么 L 也是全格。

扩展阅读：如果偏序集任意两元素的上下界仅有其 lub 和 glb，那么称该偏序集为半格（Semilattice）

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Data Flow Analysis Framework via Lattice 通过格子的数据流分析框架

一个数据流分析框架（D, L, F）由以下元素组成：

• D: 数据流的方向，前向还是后向
• L: 包含了数据值 V 和 meet, join 符号的格
• F: V -> V 的转移方程族

从而，数据流分析可以被视为在 lattice 的值上迭代地应用转移方程和 meet/join 操作符。

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Monotonicity and Fixed Point Theorem 单调性和不动点定理

回看我们在上面提出的问题：迭代算法在什么条件下可以停机？我们在这里引入不动点定理：

Monotonicity 单调性：如果\sqsubseteq f(y)$]，则说函数f: L -> L 是单调的。

FIxed Point Theorem 不动点定理：给定一个全格$(L,\sqsubseteq)$，如果

1. $f: L \rightarrow L$是单调的

2. $L$是有穷的

   （也就是f单调有界+L全格）

那么

• 迭代$f^k(\bot)$可以得到最小不动点（least fixed point）。

• 迭代$f^k(\top)$可以得到最大不动点（greatest fixed point）。

证明：

根据$\bot$和f的定义，我们可以得到：$\bot \sqsubseteq f(\bot)$。

由于 L 是有限的，且 f 单调，根据鸽笼原理，必然存在一个 k 使得$\bot \sqsubseteq f(\bot) \sqsubseteq f^2(\bot)\sqsubseteq …\sqsubseteq f^k(\bot)\sqsubseteq f^{k+1}(\bot) $，且$f^k(\bot) = f^{k+1}(\bot)$。

假设我们有另一个任意不动点 x，由于 f 是单调的，因此$f(\bot) \sqsubseteq f(x), f^2(\bot) \sqsubseteq f^2(x),…,f^{Fix} = f^k(\bot)\sqsubseteq f^k(x) = x$

可知的确$f^{Fix}$是最小不动点。

通过上面的证明，我们又回答了一个问题：如果我们的迭代算法符合不动点定理的要求，那么迭代得到的不动点，确实就是最优不动点。

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Relate Iterative Algorithm to Fixed Point Theorem 迭代算法与不动点定理的关系

以上我们只是定性的描述了是否能得到最优不动点，但是迭代算法怎样才能算是符合了不动点定理的要求呢？接下来介绍关联的方法。

首先，回想 fact 的形式：$(v_1^1,v_2^1,…,v_k^1)$，可以将其视为一个有限 lattice，它的积也是有限 lattice，因此 fact 对应到 finite lattice 是可以的。

然后，我们的迭代函数 F 包括了转移函数 f 和 join/meet 函数，证明 F 是单调的，那么也就能得到 $F: L\rightarrow L$ 是单调的。

这里分两部分。

1. 转移函数，即 OUT = gen U (IN - kill)，显然是单调的。
2. 那么 join/meet 函数，我们要证明其单调，就是要证明：$\forall x,y,z\in L, x\sqsubseteq y$，有$x \sqcup z \sqsubseteq y \sqcup z$。
   1. 由定义，$y \sqsubseteq y \sqcup z$
   2. 由传递性，$x \sqsubseteq y \sqcup z$
   3. 则 $y \sqcup z$ 是 $x, z$ 的 ub
   4. 又 $x \sqcup z$ 是 $x, z$ 的 lub
   5. 因此 $x \sqcup z \sqsubseteq y \sqcup z$，证毕。

于是我们就完成了迭代算法到不动点定理的对应。

现在我们要回答本文开头的第三个问题了，什么时候算法停机？

这个问题就很简单了，因为每个 lattice 都有其高度。假设 lattice 的高度为 h，而我们的 CFG 节点数为 k，就算每次迭代可以使一个节点在 lattice 上升一个高度，那么最坏情况下，我们的迭代次数也就是 $i = h \times k$

最后我们再列出这三个问题与其回答：

• 算法是否确保一定能停止/达到不动点？能！会不会总是有一个解答？可以！
• 如果能到达不动点，那么是不是只有一个不动点？可以有很多。如果有多个不动点，我们的结果是最优的吗？是的！
• 什么时候我们会能得到不动点？最坏情况下，是 lattice 的高度与 CFG 的节点数的乘积。

May/Must Analysis, A Lattice View

无论 may 还是 must 分析，都是从一个方向到另一个方向去走。考虑我们的 lattice 抽象成这样一个视图：

例如，对于到达定值分析，下界代表没有任何可到达的定值，上界代表所有定值都可到达。

下界代表 unsafe 的情形，即我们认为无到达定值，可对相关变量的存储空间进行替换。上界代表 safe but useless 的情绪，即认为定值必然到达，但是这对我们寻找一个可替换掉的存储空间毫无意义。

而因为我们采用了 join 函数，那么我们必然会从 lattice 的最小下界往上走。而越往上走，我们就会失去更多的精确值。那么，在所有不动点中我们寻找最小不动点，那么就能得到精确值最大的结果。

反之，在可用表达式分析中，下界代表无可用表达式，上界代表所有表达式都可用。

下界代表 safe but useless 的情形，因为需要重新计算每个表达式，即使确实有表达式可用。而上界代表 unsafe，因为不是所有路径都能使表达式都可用。与 may analysis 一样，通过寻找最大不动点，我们能得到合法的结果中精确值最大的结果。

Distributivity and MOP

我们引入 Meet-Over-All-Paths Solution（满足所有路径的解决方案），即 MOP。在这个 solution 中，我们不是根据节点与其前驱/后继节点的关系来迭代计算数据流，而是直接查找所有路径，根据所有路径的计算结果再取上/下界。这个结果是最理想的结果。

可以看到，迭代算法是 s3 对前驱取 join 后进行进行 f3 的转移，而 MOP 算法是对到达 s3 之后，s4 之前的路径结果取 join。

那么迭代算法和 MOP 哪个更精确呢？我们可以证明，$F(x)\sqcup F(y)\sqsubseteq F(x\sqcup y)$：

这表明 MOP 是更为精确的。

但这并没有结束。而如果 F 是可分配的，那么确实可以让偏序符号改为等于号。恰好，gen/kill problem 下，F 确实可分配因此我们能确定，迭代算法的精度与 MOP 相等。

Constant Propagation 常量传播

当然有些问题下 F 是不可分配的，如常量传播（Constant Propagation）。

在常量传播分析中，其最大上界是 undefine，因为我们不知道一个变量到底被定义为了什么值。最小下界是 NAC（Not A Constant），而中间就是各种常量。这是因为分析一个变量指向的值是否为常量，那么要么它是同一个值，要么它不是常量。

给定一个 statement s: x = …，我们定义转移函数$OUT[s]=gen\cup(IN[s]-{(x,_)})$。

其中我们根据赋值号右边的不同，决定不同的 gen 函数：

注意，const + undef -> undef。因为 undef 变成 const 的过程中是降级，而如果 const1 + undef -> const2，那么 undef 变化为 const 时，const2 会发生改变，原来的 const2 与现在的 const2 不具有偏序关系，那么就不满足偏序关系的单调性了。

常量传播是不可分配的。以下图为例：

对于 c，$F(X)\sqcap F(Y) = 10, F(X\sqcap Y) = \text{NAC}$

Worklist Algorithm 工作列表算法

worklist 是迭代算法的优化。

在 Worklist 算法中，只在基本块的 fact 发生变化处理其相关基本块，不必再在每次有 fact 变化时处理所有的基本块了。