近视代数——环

环

定义 有两个二元运算（分明称为加法、乘法）的代数系统 (R,+,⋅)(R,+,\cdot)，称为一个环
环 RR 对加法运算构成交换群，对乘法运算构成半群：

• 加法结合律：∀a,b,c∈R,(a+b)+c=a+(b+c)\forall a,b,c \in R,(a+b)+c=a+(b+c)
• 加法交换律：∀a,b∈R,a+b=b+a\forall a,b \in R,a+b=b+a
• 加法零元（单位元）：∀a∈R,a+0=a\forall a \in R, a+0=a
• 加法负元（逆元）：∀a∈R,∃−a,a+(−a)=0\forall a \in R, \exists -a, a + (-a) = 0
• 乘法结合律：∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\forall a,b,c \in R,(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
• 乘法分配律：∀a,b,c∈R,a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\forall a,b,c \in R,a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

定义

• 具有单位元的环 乘法运算 ⋅\cdot 拥有单位元的环
• 交换群 乘法运算 ⋅\cdot 满足交换律的环

性质

• 加法单位元： x+a=a→x=0x+a=a \rightarrow x=0
• a+x=0→x=−aa+x=0 \rightarrow x=-a
• a+b=a+c→b=ca+b=a+c \rightarrow b=c
• n⋅(a+b)=na+nbn\cdot(a+b) = na+nb
• (m+n)a=ma+na(m+n)a=ma+na
• (m⋅n)=m(na)(m\cdot n)=m(na)
• −(a+b)=−a−b-(a+b) = -a-b
• −(a−b)=−a+b-(a-b)=-a+b

定理

• a⋅0=0⋅a=0a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0
• a⋅(−b)=(−a)b˙=−(a⋅b)a \cdot (-b) = (-a) \dot b = -(a \cdot b)
• (−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b
• a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c;(b−c)⋅a=b⋅a−c⋅aa \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c; (b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a

定义 一个有单位元环的一个元 bb 叫做元 aa 的一个逆元，假如 ab=ba=1ab=ba=1，此时称 aa 是一个可逆元

定理 在环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 中，∀a1,⋯ ,am,b1,⋯ ,bn∈R\forall a_1, \cdots, a_m, b_1, \cdots, b_n \in R，有 (∑i=1mai)⋅(∑j=1nbj)=∑i=1m∑j=1nai⋅bj(\sum^m_{i=1}a_i) \cdot (\sum^n_{j=1}b_j)=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_i \cdot b_j

推论 在环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 中，对于任意的 a,b∈R,n∈Za,b \in \bm{R}, n \in \bm{Z}，有 (na)⋅b=a⋅(nb)=n(a⋅b)(na) \cdot b = a \cdot (nb) = n(a \cdot b)

定理 有单位元的交换环 (R,+,⋅)(R, +, \cdot)，a,b∈R,n∈Za,b \in \bm{R}, n \in \bm{Z}，二项式定理成立：(a+b)n=an+(n1)an−1b+⋯+(nk)an−kbk+⋯+bn(a+b)^n = a^n + \begin{pmatrix}n \\ 1\end{pmatrix}a^{n-1}b + \cdots + \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}a^{n-k}b^k + \cdots + b^n

整环

消去律（允许消去非 0 的数）并非对所有环都成立

定义 如果一个环，a≠0,b≠0a \ne 0, b \ne 0，但 ab=0ab=0 则称 aa 是这个环的一个左零因子，bb 是一个右零因子

定义 只含有一个元素的环 RR 称为平凡环；如果一个环 RR 没有左零因子（那么自然也没有右零因子），则称为无零因子环

定理 在一个没有零因子的环里两个消去律都成立（消去律成立的环也必然是无零因子环）：

• a≠0,ab=ac⇒b=ca \ne 0, ab=ac \Rightarrow b=c
• a≠0,ba=ca⇒b=ca \ne 0, ba=ca \Rightarrow b=c

推论 环 RR 乘法满足左消去律 ⇔\Leftrightarrow 环 RR 满足右消去律

上述两条可归纳为：
无零因子环⇔消去律成立⇔((a≠0,ab=ac⇒b=c)⇔(a≠0,ba=ca⇒b=c))\text{无零因子环} \Leftrightarrow \text{消去律成立} \Leftrightarrow ((a \ne 0, ab=ac \Rightarrow b=c) \Leftrightarrow (a \ne 0, ba=ca \Rightarrow b=c))

定义 一个非平凡环 RR 在满足下述要求时称为一个整环（无零因子非平凡交换环）：

• 乘法交换律：ab=baab=ba
• 没有零因子：∀a,b∈R,ab=0⇒a=b∣∣b=0\forall a,b \in R, ab=0 \Rightarrow a=b || b=0

其他版本定义中，整环要求存在单位元

定义 高斯整环 Z[i]={a+bi∣∀a,b∈Z}Z[i]=\{a+bi|\forall a,b \in \bm{Z}\}

除环

定义 一个环 RR 在满足下述条件时，称为除环（群+群-乘法零因子逆元）

• 至少包含一个不为零的元
• 有单位元
• 每一个不等于零的元存在逆元

性质

• 除环没有零因子
• 除环除零外所有元素对乘法运算构成一个群 (R∗,⋅)(R^*, \cdot)

定义 一个交换除环称为一个域

性质

• ab=cd⇒ad=bc\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc
• ab=cd⇒ad+bcbd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{ad+bc}{bd}
• abcd=acbd\frac{a}{b}\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

推论 域没有零因子，域是一个整环

定理 一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环

推论 有限整环是除环

定理 一个有限整环是一个域

子环

定义　一个环 RR 的一个子集 SS 叫做 RR 的一个子环，假如 SS 本身对于 RR 的代数运算来说构成一个环，则称 SS 是 RR　的一个子环，记作 S≤RS \le R

设 S≤RS \le R 且 S≠RS \ne R，则称 SS 是 RR 的一个真子环；每一个环都拥有子环 0{\bm{0}} 和 RR，称为平凡子环

环 RR 的非空子集 SS 是一个子环 ⇔\Leftrightarrow a,b∈S⇒a−b∈S,ab∈Sa,b \in S \Rightarrow a-b \in S, ab \in S

一个除环 RR 的子集 SS 是一个子除环的充要条件：

• SS 包含一个非零元
• a,b∈S⇒a−b∈Sa,b \in S \Rightarrow a-b \in S
• a,b∈S,b≠0,ab−1∈Sa,b \in S, b \ne 0, ab^{-1} \in S

性质

• RR 是交换环，SS 是交换环
• SS 是交换环，RR 未必是交换环
• RR 无零因子，SS 无零因子
• SS 无零因子，RR 未必无零因子
• RR 有单位元，SS 未必有单位元
• SS 有单位元，RR 未必有单位元

环的同态

定义 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 到环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的映射 ff，如果保持运算: ∀a,b∈R,f(a+b)=f(a)∨f(b),f(a⋅b)=f(a)∧f(b)\forall a,b \in R, f(a + b)=f(a) \vee f(b), f(a \cdot b) = f(a) \wedge f(b)，则称 ff 是 R→SR \rightarrow S 的环同态映射
如果 ff 是满射（单射，双射），则称 ff 为 R→SR \rightarrow S 的满同态（单一同态，同构）
如果环 RR 到环 SS 存在同构映射，称 RR 与 SS 同构，记为 R≅SR \cong S

定理 假定 RR 与 R‾\overline{R} 是两个环，并且 RR 与 R‾\overline{R} 同态，那么

• RR 零元的像是 R‾\overline{R} 的零元
• RR 的元 aa 的负元像是 aa 的像的负元
• 如果 RR 是交换环，那么 R‾\overline{R} 也是交换环
• 如果 RR 有单位元 11，那么 R‾\overline{R} 也有单位元 1‾\overline{1}

性质
设 ff 是 R→SR \rightarrow S 的满同态

• RR 是交换环，SS 是交换环
• SS 是交换环，RR 未必是交换环
• RR 无零因子，SS 未必无零因子
• SS 无零因子，RR 未必无零因子
• RR 有单位元 11，SS 有单位元 f(1)f(1)
• SS 有单位元，RR 未必有单位元

零因子在环同态下不保持：零因子的像不一定是是零因子，非零因子的像不一定不是零因子
在 Z\bm{Z} 和 Z6\bm{Z}_6 的映射 ϕ(n)=[n]\phi(n) = [n]，Z\bm{Z} 没有零因子，而 Z6\bm{Z}_6 的 [2],[3],[4][2],[3],[4] 都是零因子

定理 假设 RR 和 R‾\overline{R} 是两个环，并且 R≅R‾R \cong \overline{R}。那么

• 若 RR 是整环，R‾\overline{R} 也是整环
• 若 RR 是除环，R‾\overline{R} 也是除环
• 若 RR 是域，R‾\overline{R} 也是域

环的构造方法

矩阵环

定义 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 与环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的直积记为 (R×S,∘,∗)(R \times S, \circ, *):

• (r1,s1)∘(r2,s2)=(r1+r2,s1∨s2)(r_1,s_1) \circ (r_2,s_2) = (r_1+r_2, s_1 \vee s_2)
• (r1,s1)∗(r2,s2)=(r1⋅r2,s1∧s2)(r_1,s_1) * (r_2,s_2) = (r_1 \cdot r_2, s_1 \wedge s_2)

定理 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 与环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的直积 (R×S,∘,∗)(R \times S, \circ, *) 也是环

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，则元素属于 RR 的 nn 阶矩阵集合 M(n×n;R)M(n \times n;R)，关于矩阵加法 ++、矩阵乘法 ⋅\cdot，构成有单位元的环 (M(n×n;R),+,⋅)(M(n \times n;R),+,\cdot)

定义 设 RR 是具有单位元的交换环，环 (M(n×n;R),+,⋅)(M(n \times n;R),+,\cdot) 称为 RR 上的 nn 阶矩阵环。如：环 (M(n×n;Z),+,⋅)(M(n \times n;\bm{Z}),+,\cdot) 是整数环上的 nn 阶矩阵环

多项式环

定义 设 x∈R0x \in R_0，若不存在不全为零的元素 a0,a1,⋯ ,am∈Ra_0,a_1,\cdots,a_m \in R，使得 a0+a1x+⋯+amxm=0,∀m∈Za_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m=0, \forall m \in \bm{Z}，则称 xx 是环 RR 上的不定元（超越元），称 RR 上关于 xx 的多项式是 RR 上的一元多项式

定理　假设 RR　是一个有单位元的交换环，则一定存在环 RR 上的不定元 xx，因此 RR 上的一元多项环 R[x]R[x] 存在

定义 设 aa 是具有单位元的交换环 RR 上的一个不定元，一个可以写成 a0+a1α+⋯+anαna_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n 的形式的 R0R_0 的元叫做 RR 上的 α\alpha 的一个多项式。aia_i 叫做多项式的系数（ai∈R,n∈Na_i \in \bm{R},n \in \bm{N}）

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，R[x]={a0+a1x+⋯+anxn∣a0,⋯ ,an∈R,n∈N}R[x] = \{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n|a_0,\cdots,a_n\in \bm{R}, n\in \bm{N}\}，则 (R[x],+,⋅)(R[x], +, \cdot) 构成有单位元的交换环，称之为 RR 上的多项式环

定义 设 RR 是具有单位元的交换环，称 (R[x],+,⋅)(R[x],+,\cdot) RR 上的多项式环

推论 设 RR 是具有单位元的交换环，规定映射 f:R→R[x]f: R \rightarrow R[x] 为 f(r)=r+0x+0x2+⋯+0xn=r,∀r∈Rf(r)=r+0x+0x^2+\cdots+0x^n=r,\forall r \in R。则 ff 是 R→R[x]R \rightarrow R[x] 的单一同态。环 RR 科看作环 R[x]R[x] 的一个子环

定理 假设 RR 是一个具有单位元的交换环，nn 为任意正整数，则一定存在环 RR 上的 nn 个无关不定元 x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n，因此 RR 上的多元多项式环 R[x1,⋯ ,xn]R[x_1,\cdots,x_n] 是存在的。其中，无关指 ∑i1⋯inai1⋯inx1i1⋯xnin=0⇔ai1⋯in=0,∀ai1⋯in∈R\sum_{i_1 \cdots i_n}a_{i_1 \cdots i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} = 0 \Leftrightarrow a_{i_1\cdots i_n} = 0,\forall a_{i_1\cdots i_n}\in R

定理 设 RR 是具有单位元的整环，则 R[x]R[x] 也是具有单位元的整环

序列环

定理 设 RR 是有单位元的交换环，记 RN={<a0,a1,⋯>∣a0,a1,⋯∈R,n∈N}R^N=\{<a_0,a_1,\cdots>|a_0,a_1,\cdots \in R, n \in \bm{N}\}，且用记号 <ai><a_i> 表示无穷序列 <a0,a1,⋯><a_0,a_1,\cdots>。则 RNR^N 关于以下定义的加法 ++ 和卷积 ∗* 构成据有单位元的交换环 (RN,+,∗)(R^N,+,*)，称 (RN,+,∗)(R^N,+,*) 为 RR 上的序列环

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，<a0,a1,⋯>∈RN<a_0,a_1,\cdots> \in R^N，则 <a0,a1,⋯><a_0,a_1,\cdots> 在 RNR^N 中有逆元素，当且仅当 a0a_0 在 RR 中有逆元素

推论 设 RR 是域，则 <a0,a1,⋯>∈RN<a_0,a_1,\cdots> \in R^N 有逆元素，当且仅当 a0≠0a_0 \ne 0

分式域

定理 设 RR 是整环，则可以构造一个域 FF，使得 RR 同构于 FF 的一个子环 R‾\overline{R}

1. 构造 R×R∗={(a,b)∣a,b∈R,b≠0}R \times R^* = \{(a,b) | a,b \in R, b \ne 0\}。规定集合 R×R∗R \times R^* 上一个二元关系 ∼\sim: (a,b)∼(c,d)⇔ad=bc(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc。其中 R∗R^* 表示除去加法零元外的所有元素
   也即需要证明 (a,b)∼(c,d)(a,b) \sim (c,d) 等价关系存在

   • 自反性: ab=baab=ba，故 (a,b)∼(a,b)(a,b) \sim (a,b)
   • 对称性: cb=dacb=da，故 (c,d)∼(a,b)(c,d) \sim (a,b)
   • 传递性: ad=bc,cf=dead=bc, cf=de，则 af=bcd−1dec−1=beaf = bcd^{-1}dec^{-1}= be，故 (a,b)∼(e,f)(a,b) \sim (e,f)

   因此，等价关系将集合 R×R∗R \times R^* 分成了若干等价类，用 ab\frac{a}{b} 表示元素 (a,b)(a,b) 所在的等价类，令 FF 表示所有等价类的集合。即 F={ab∣a,b∈R,b≠0}F=\{\frac{a}{b}| a,b \in R,b\ne 0\}

2. 在集合 FF 中规定加法运算 ++ (ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}) 和乘法运算 ⋅\cdot (ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd})
   由于 RR 不存在零因子，因此 b≠0,d≠0b \ne 0,d \ne 0，即 bd≠0bd \ne 0，则 ab+cd,ab⋅cd∈F\frac{a}{b} + \frac{c}{d}, \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \in F
   若 ab=a1b1,cd=c1d1\frac{a}{b}=\frac{a_1}{b_1}, \frac{c}{d}=\frac{c_1}{d_1}，即 ab1=a1b,cd1=c1dab_1=a_1b,cd_1=c_1d
   则 (ad+bc)(b1d1)=(ab1)dd1+bb1(cd1)=(a1d1+b1c1)bd(ad+bc)(b_1d_1)=(ab_1)dd_1+bb_1(cd_1)=(a_1d_1+b_1c_1)bd
   因此 ad+bcbd=a1d1+b1c1b1d1\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a_1d_1+b_1c_1}{b_1d_1}
   即 acbd=a1c1b1d1=a1c1b1d1\frac{ac}{bd}=\frac{a_1c_1}{b_1d_1}=\frac{a_1c_1}{b_1d_1}
   故，所规定的加法和乘法运算，其运算结果与代表的选择无关。规定的加法运算 ++ 和乘法运算 ⋅\cdot 是集合 FF 上的二元运算

3. 证明集合 FF 为域

   • 对于所规定的加法运算 ++ 构成加群

     • 易知 ab+cd=cd+ab\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}
     • 计算可得
       ab+(cd+ef)=ab+cf+dedf=adf+bcf+bdebdf\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f})=\frac{a}{b}+\frac{cf+de}{df}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}
       (ab+cd+ef=ad+bcbd+ef=adf+bcf+bdebdf)(\frac{a}{b}+\frac{c}{d} + \frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{bd}+\frac{e}{f}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf})
       也即，加法满足结合律
     • 加法零元为 0b\frac{0}{b}: 0b+cd=bcbd=cd\frac{0}{b}+\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}=\frac{c}{d}
     • 对于任意一个元素 ab\frac{a}{b}，其负元为 −ab\frac{-a}{b}: ab+−ab=0b\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{0}{b}

     故集合 FF 对于所规定的加法运算 ++ 构成加群

   • 证明 F∗F^* (FF 中非零元素) 对于所规定的乘法运算 ⋅\cdot 构成交换群
     易知乘法满足交换律，结合律。乘法单位元为 aa\frac{a}{a}，元素 ab\frac{a}{b} 的逆元为 ba\frac{b}{a}。可以证明，乘法对于加法满足分配律

   故，(F,+,⋅)(F,+,\cdot) 构成域

4. 构造域 (F,+,⋅)(F,+,\cdot) 的子环 R‾={qaq∣q,a∈R,q≠0}\overline{R}=\{\frac{qa}{q}|q,a \in R,q\ne 0\}。这里 qq 为某固定元素，aa 为环 RR 中任意元素
   规定映射 f:R→R‾f: R \rightarrow \overline{R} 为 f(a)=qaq,∀a∈Rf(a)=\frac{qa}{q},\forall a \in R
   下面证明 ff 是 R→R‾R \rightarrow \overline{R} 的同构映射，即 R≅R‾R \cong \overline{R}

   • 证明满射
     R‾\overline{R} 是 RR 的子环，且 f(a)=qaqf(a)=\frac{qa}{q}
     所有的 R‾\overline{R} 都会被映射
     故 ff 是满射
   • 证明单射
     对于 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，即 qaq=qbq\frac{qa}{q}=\frac{qb}{q}
     即 (qa,q)∼(qb,q)(qa,q) \sim (qb,q)
     有 aq2=bq2aq^2=bq^2，由消去律，a=ba=b
     故 ff 是单射
   • 再证 ff 保持运算
     f(a)+f(b)=qaq+qbq=q2(a+b)q2=q(a+b)q=f(a+b)f(a)+f(b)=\frac{qa}{q}+\frac{qb}{q}=\frac{q^2(a+b)}{q^2}=\frac{q(a+b)}{q}=f(a+b)
     f(a)⋅f(b)=qaq⋅qbq=q2(ab)q2=q(ab)q=f(a⋅b)f(a) \cdot f(b) = \frac{qa}{q}\cdot\frac{qb}{q}=\frac{q^2(ab)}{q^2}=\frac{q(ab)}{q} = f(a \cdot b)

   因此，ff 为 R→R‾R \rightarrow \overline{R} 的同构映射，即 R≅R‾R \cong \overline{R}

理想子环

定义 环 RR 的一个非空子集 II 叫做一个理想子环，简称理想

• II 是子群: a,b∈I⇒a−b∈Ia,b \in I \Rightarrow a-b \in I
• 强闭合子环: a∈I,r∈R⇒ra,ar∈Ia \in I, r \in R \Rightarrow ra,ar \in I

定理 若 RR 有单位元，II 是 RR 的理想，则 I=R⇔1∈II=R \Leftrightarrow 1 \in I

定义 对于任意的环 RR，{0}\{0\} 和 RR 都是理想，分别为零理想和单位理想，只有零理想和单位理想的环称为单环

定理 除环是单环，域是单环

定理 设 aa 是交换环 RR 的元素，则集合 I={ar+na∣r∈R,n∈Z}I=\{ar+na|r \in R,n \in \bm{Z} \} 是 RR 的理想。称其为由元素 aa 生成的主理想，记为 (a)(a)

若 RR 是具有单位元的交换环，(a)(a) 是由所有 aa 的倍元组成，即 (a)={ar∣r∈R}(a)=\{ar|r \in R\}

定义 A\frak{A} 包含所有可以写成 s1+s2+⋯+sm(si∈(a))s_1+s_2+\cdots+s_m(s_i\in(a)) 形式的 RR 的元，则 A\frak{A} 为包含 a1,a2,⋯ ,ama_1,a_2,\cdots,a_m 的最小理想，使用 (a1,a2,⋯ ,am)(a_1,a_2,\cdots,a_m) 来表示这个理想

定理 设 FF 是域，0≠a∈F0 \ne a \in F，则 F=(a)={ar∣r∈F}F=(a)=\{ar|r \in F\}

定理 理想不一定具有传递性: NN 是 RR 的理想，II 是 NN 的理想，那么 II 不一定是 RR 的理想

商环

定义 若 II 是环 RR 的理想，则 (R/I,+,⋅)(R/I,+,\cdot) 构成环，称为 RR 关于 II 的上商环，记为 R/I={I+r∣r∈R}R/I = \{I+r|r \in R\}。也称为 RR 关于 II 的剩余类环
其中，运算为：

• (I+r1)+(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r_1)+(I+r_2) = I+(r_1+r_2)
• (I+r1)⋅(I+r2)=I+(r1⋅r2)(I+r_1)\cdot(I+r_2)=I+(r_1 \cdot r_2)

素理想

定义 如果 RR 是交换环，II 是 RR 的真理想（I≠RI \ne R），若 ∀a,b∈R\forall a,b \in R，当 ab∈Iab\in I，可推出 a∈I或b∈Ia\in I 或 b\in I ，则称 II 是 RR 的素理想

定理 设 RR 是交换环，II 是交换环 RR 的理想，则 I是R的素理想⇔R/I是整环I\text{是}R\text{的素理想} \Harr R/I\text{是整环}

推论 FF 是域，(x)(x) 是 F[x]F[x] 的素理想，故 F[x]/(x)F[x]/(x) 是整环

极大理想

定义 环 RR 的一个不等于 RR 的理想 II (I≠RI \ne R) 称为 RR 的极大理想，假设除 RR 和 II 外，RR 中没有包含 II　的其他理想

定理 RR 是有单位元的交换环，II 是 RR 的理想，I是R的极大理想⇔R/I是域I \text{是} R \text{的极大理想} \Lrarr R/I \text{是域}

定理 整数环中，素数 pp 生成的主理想 (p)(p) 可得到 Z/(p)\bm{Z}/(p) 是域

定理 设 RR 是有单位元的交换环，II 是 RR 的极大理想，则 II 是 RR 的素理想

环同态基本定理

设 ff 是一个环 RR 到另一个环 R‾\overline{R} 的一个同态满射，R‾\overline{R} 的零元 0‾\overline{0} 在 ff 之下的所有逆像所做成的 RR 的子集叫做同态满射的核，记为 kerffkerf f。即 Kerf=f−1(0‾)={x∣x∈R,f(x)=0‾}Kerf = f^{-1}(\overline{0})=\{ x | x \in R, f(x)=\overline{0} \}

定理　设 ff 是 G−>HG->H 的一个群同态映射，则

• Kerf={g∈G∣f(g)=eH}\text{Ker} f=\{g\in G|f(g)=e_H\}
• Imf\text{Im} f 是 HH 的子群，且商群 G/Kerf≅ImfG/\text{Ker} f\cong \text{Im} f

定理 假定 RR 和 R‾\overline{R} 是两个环，并且 RR 和 R‾\overline{R} 满同态，那么这个同态满射的核 A\frak{A} 是 RR的一个理想，并且 R/A≅R‾R/\frak{A} \cong \overline{R}

环同态基本定理
设 ff 是 R→SR \rarr S 的环同态映射，则 R/Kerf≅ImfR/\text{Ker}f \cong \text{Im}f
设 ff 是 R→SR \rarr S 的满同态，则 R/Kerf≅SR/\text{Ker}f \cong S

定理 在环 RR 到环 R‾\overline{R} 的一个同态满射之下

• RR 的一个子环 SS 的像 S‾\overline{S} 是 R‾\overline{R} 的一个子环
• RR 的一个理想 A\frak{A} 的像 A‾\overline{\frak{A}} 是 R‾\overline{R} 的一个理想
• R‾\overline{R} 的一个子环 S‾\overline{S} 的逆像 SS 是 RR 的一个子环
• R‾\overline{R} 的一个理想 A‾\overline{\frak{A}} 的逆像 A\frak{A} 是 RR 的一个理想