由于对各种矩阵运算物理意义的理解总是跟不上，因此尽管多年多次尝试入门机器学习，却总是被拒之门外。偶然间同事推荐了 MIT 那门经典的线性代数公开课，听了几节，煞是过瘾，之前紧闭的大门竟有打开一丝的感觉。

因此，本系列会在每篇文章分享一些课程中有意思的点。为了避免晦涩，每章会尽可能去上下文、保持简短，请放心食用。也因此，本系列会牺牲一些精确性，且并无体系化，仅仅旨在唤起你一丢丢兴趣。注：例子都由 KimiChat 生成。

作者：木鸟杂记 https://www.qtmuniao.com/2024/06/29/interesting-linear-algebra-1/ 转载请注明出处

右乘列向量

la-Ax-b.png

对于一个方阵 A 来说，右乘一个列向量 x，可以理解为：使用 x 中的值作为权重，对 A 中列向量进行线性组合，得到一个新的列向量 b。

利用该理解对上图拆开一下就是：

la-b-A.png

注：这其中会要求一些性质，比如 A 是可逆矩阵（invertible matrix），或者是非奇异（non singular matrix），但这些名词我们就不在此深究了，感兴趣的可以去看视频。

左乘行向量

la-matrix-vector.png

对于一个方阵 A 来说，左乘一个行向量 x，可以理解为：使用 x 中的值作为权重，对 A 中行向量进行线性组合，得到一个新的行向量 b。

拆解下过程，就是：

la-b-linear.png

扩展

有了上述直觉，我们就可以扩展一下，拆解矩阵乘法了。

比如利用右乘行向量拆解。

A * X = B

可以拆解为：

la-B-as-A.png

即，利用 X 中三列分别对 A 进行线性组合，得到结果 B 中的三列。

同样，也可以利用左乘行向量对上述乘法进行拆解，可以自己试试。

小结

当然，有时候，这种思想有时候可能会使得简单的运算变复杂。但学多了就会发现，对于线代中同一个公式会有多种“物理理解”，每种理解方法都会有其特定适用场景，多在工具箱里积累一些工具方法，会使得我们对矩阵运算这种高维思维更加得心应手。