文章从三扇门问题切入，解读贝叶斯理论的核心逻辑，并用生活案例说明其应用。同时分享该理论对普通人的启发，助力在不确定性中理性决策。

选山羊还是汽车

去年有幸参加了杜继南老师《落子无悔·科学决策》的线下课程，课上杜老师提出了经典的贝叶斯三扇门问题。好巧不巧，最近读《思考快与慢》，丹尼尔.卡尼曼多次提到贝叶斯理论，正在这时有幸收到中信出版社《贝叶斯定理》纸质图书，这些巧合都在推动我快写一写贝叶斯理论吧。毕竟贝叶斯公式可是被号称为“上帝公式”，在生活中无处不在。

那今天就从有意思的三扇门问题开始吧。

了解贝叶斯理论的人，应该知道这个问题，大致是这样的：

你去参加一个节目，主持人告诉你：

现在有三扇门，门后分别藏有一只羊或一辆轿车，总共有2只羊、一辆轿车。

你可以选择其中一扇门背后的东西带回家（因轿车比山羊贵，我们默认大家都想选出轿车带回家）

在没有任何其他信息的情况下，你随机选择了1号门。

这个时候主持人说，为了提升选中轿车的概率，他现在可以打开剩下2扇门中一扇，于是他打开了3号门，是山羊。现在主持人问你要不要换2号门？

那我们到底该不该换呢？（大家可以现根据直觉判断要不要换，了解完贝叶斯理论后，再回过头来看咱们的决策是否科学）

这就是一个很典型的贝叶斯问题？那到底什么贝叶斯定理，他又能怎么帮助我们决策呢？

01 到底什么是贝叶斯理论

叶斯理论是一个后验概率，它根据已知信息算出事件发生的概率。比如前面三扇门问题“主持人打开了3号门，是一只羊”，这个就是已知信息，它的计算公式是：

上学时觉得这个公式很简单，直到再次读到贝叶斯时，发现很容易搞错。很多人觉得看到公式就头疼，那是因为没有理解他，接下来我们一起来拆解：

A、B分别为两个事件，P表示概率，|表示条件，P（A|B）即表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

从上面的公式可以看出，要想知道“在事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，我们必须知道三个数据：

① P（A）：这个我们叫做先验概率，即没有条件限制的情况，事件A一般发生的概率。

② P（B | A）：似然概率，事件A发生的条件下事件B发生的概率。

③ P（B）：边缘概率，即事件B发生的概率。

举个例子来说明：

比如几年前新冠流行时，事件A为感染新冠，事件B为试纸测出阳性，现在我们想知道测出阳性的条件下实际感染新冠的概率P（A|B）。

假设：

P（A）=20%（即某地区新冠的整体感染率20%）

P（B | A）=90%（试纸测试的准确度90%，即健康人假阳性的概率为10%，患者假阴性的概率为10%），现在某人试纸测出了阳性，请问此人实际感染新冠的概率是多少？

很多人会说，当然是90%了，事实并不是，我们一起按照公式计算。

P（A|B）= P（A）* P（B | A）/ P（B），根据上面的信息我们需要计算出P（B），即试纸为阳性的概率（包括健康人群、患者人群）

P（B）= P（B健康）+ P（B患者）=80%10%+20%90%（80%的健康人群阳性的概率是10%，20%患者人群阳性的概率为90%）=80%

P（A|B）= P（A）* P（B | A）/ P（B）=20%*90%/80%=22.5%

很多人会说，可是我们实际测试时一般认为测出阳性，就感染了呀，这里的计算为什么只有20%多点的概率？跟实际不符合。

这是因为实际我们仅针对高危人群测试，比如有症状的，或者密接，这种时候P（A）也许达到90%。我们计算概率，一定要看对应的条件，不同条件下概率差别很大。

比如某地区一天下雨的概率只有5%，但在乌云密布的条件下，下午的概率就高达90%。

汤姆·奇弗斯在《贝叶斯定理》一书中还举了一个颠覆认知的例子，叫“检察官谬误”。

我们都知道DNA检测是锁定嫌疑人的重要手段，那我们能否因为DNA匹配这一项线索去锁定嫌疑人呢？

假定你正在做犯罪调查，在凶器上采集到了DNA样本，且该样本与该国家6800万人样本库中某人的DNA匹配（DNA的匹配度非常高，平均每300万人中才能有1人匹配），这是否意味着此人是凶手的概率为99.99997%（1-1/300万）呢？

并不是！

按照1/300万的匹配度，那么6800万人样本中就有6800万*1/300万=20人的DNA是匹配的，但是凶手只有一个，意味着在没有其他信息输入的情况下，此人是凶手的概率仅为1/20=5%。

没想到吧，要想抓到凶手仅凭DNA这一项是不够的，得通过其他线索不断缩小范围。

讲了这么多，想必大家对贝叶斯定理已经有了初步理解。但或许有人会觉得，这玩意太过学术，感觉日常也用不上。

并不是！

贝叶斯被称之为“上帝公式”，生活中随处可见。接下来，我们就聊聊，贝叶斯理论对于我们普通人有什么启发。

02 经验直觉解决大部分问题，小心认知陷阱

是的，我们生活大部分问题不需要经过复杂的思考，按照直觉走一般不会出太大差错，我们的直觉通常来自过往经验，即贝叶斯公式的先验概率。

但很多时候，这种直接会给我们带来认知缺陷。比如，扩大罕见事件的影响。比如，当我们听到飞机坠毁事故后，身边很多人不愿意再选择坐飞机，而改用坐汽车等替代。但实际上，坐飞机比汽车更安全。据WTO数据统计，飞机的死亡率约0.05/十亿公里，汽车的死亡率约3.1/十亿公里，汽车的风险是飞机的60倍！单从安全角度，选择坐汽车替代飞机，这就是认知陷阱。

03 动态提升，在不确定性中获利

整个世界是充满不确定性的，我们不能完全依赖于过往的经验，去对未来做出判断。

比如小王上班，过往经验下迟到的概率5%，我们可以说小王今天大概率不会迟到吗？如果当天暴雨，小王乘坐的地铁出现了故障，这个时候我们还能说小王大概率不会迟到吗？

贝叶斯公式是一个后验概率，他会根据获得的新信息不断更新算法，现在的AI、机器学习、大模型应用，都是运用了贝叶斯理论。

4 量化概率，科学决策

我们讲话很多时候喜欢用“可能”，比如我说“A股票明天可能会涨”，第二天这个股票确实大涨了，我会觉得自己特别厉害，预测精准。但如果跌了呢，我也不觉得自己有问题，因为我说的是“可能”嘛，可能涨就有可能跌，于是“A股票明天可能会涨”其实是一句废话。

但是加上概率就不一样了，“A股票明天90%会涨”这句话是有明显的倾向了，如果我是炒股大佬，释放的就是乐观信号。

当然我只是举例子，事实上股价这种东西参照丹尼·卡尼曼的说法“根本无法预测”。

再回到我们开头的例子，如果没有量化的概率，我换门、不换门都很难说出理由，靠直觉。如果我们计算出不换门、换门选中汽车的概率，一对比就很清楚到底要不要换门了。

2只羊、1辆汽车分别放在三扇门后，我们没有任何其他信息，因此每扇门后是汽车的概率均为1/3（这是一个先验概率）。

现在主持人打开了3号门（是羊），假定一开始我们选中了1号门，现在要不要换成2号门呢？需要我们来看看1、2号门背后是汽车的概率分别是多少？

事件①：1号门后是汽车；事件②：2号门后是汽车；事件③：3号门后是羊（主持人只可能打开背后是羊的门），已知p(①)=p(②)=1/3，p(③)=2/3，求p(①|③)、p(②|③)。

通过计算可知：

p(①|③)= p(③|①)* p(①)/ p(③)=(50%*1/3)/(2/3)=25%

p(②|③)= p(③|②)* p(①)/ p(③)=(100%*1/3)/(2/3)=50%

可以看出，在已知3号门是羊的情况下，汽车在1号门、2号门后的概率分别为1/4,1/2，因此我们要换门（这个答案跟你刚开始的直觉一样吗）。

为了便于理解，说明下p(③|①)、p(③|②)的数据怎么来的：

p(③|①)：即汽车在1号门，主持人打开3号门的概率，因为主持人肯定会选择打开是羊的门，当1号门是汽车时，主持人会随机在2、3号门中打开一扇门，因此打开3号门的概率50%。

p(③|②)：即汽车在2号门，主持人打开3号门的概率，这个时候主持人不可能打开1、2号门，因此打开3号门的概率为100%。

写在最后

贝叶斯公式是一种思想，并不需要我们去计算复杂公式，而是在通过经验判断的同时，保持理性，去思考决策背后的概率大小，并根据获得新信息不断更新迭代。

关于贝叶斯本人及贝叶斯思想的应用，推荐阅读汤姆·奇弗斯在《贝叶斯定理》。