本文将探讨如何运用蒙特卡洛模拟方法来解决类似“集五福”活动中的复杂概率问题，确保活动的趣味性同时控制成本，提升用户体验和转化率。

一、应用场景

支付宝“集五福”已经成为了每年春节的必备活动，越来越多的人开始习惯在互联网上参与各种活动。

尤其是在节假日期间，人们更加渴望有一种可以在线上参与的娱乐方式，通过游戏方式为客户带来更多的乐趣和悬念。业务精心策划了节假日福卡抽奖活动（集灯笼、领月饼），客户通过做任务赢取福卡，集齐2种以上福卡后就有机会抽取折扣券、免单券和礼品。

既要保证用户能通过抽奖获取折扣券促使下单转化提升，同时也要控制免单券、折扣券的中奖概率来控制活动成本。因此在活动前期，测算好集齐N种卡的期望值是个迫在眉睫需要解决的问题。

二、解决方案

集齐1-N种福卡用户需要做多少次任务以及初始每种类型月饼概率设置是否能满足活动成本控制以及用户体验及下单转化目的？

在开始阶段，我们基于传统的排列组合统计方法在测算，由于每种福卡的中奖概率不同，算到集齐4种福卡已经非常麻烦，存在大量计算工作，更不用说后面集齐5种，6种不同概率福卡测算。

于是我们开始探索是否有新的方法用于这种场景测算。

1. 蒙特卡洛模拟概述

蒙特卡洛法也称统计模拟法、统计实验法，是把概率现象作为研究对象的数值模拟方法，是按抽样调查法求取统计值推定未知特性量的计算方法。

该方法通过构造一个和系统相似的概率模型，在计算机上进行随机试验来模拟系统的随机特性，故适用于对离散系统进行仿真实验，它是用抽样后的样本发生的频率来估计概率，所以它求得的是近似解，而不是精确解，随着样本数的增多，近似解将越接近精确解。

2. 基于蒙特卡洛模拟的解题思路

蒙特卡洛算法的具体实现步骤如下：

• 定义问题：首先需要明确问题的数学模型和目标函数，以及待求解的变量或参数。
• 随机采样：生成随机样本，一般是均匀分布或正态分布的随机数，根据采样规则，将随机数映射到问题的定义域内，得到一组采样点。
• 模拟计算：将采样点代入目标函数中，得到目标函数的函数值，根据函数值的大小关系，统计满足条件的样本数目，得到目标函数在采样区域内的估计值。
• 统计分析：根据大数定律和中心极限定理，利用采样得到的数据，计算问题的期望值、方差、置信区间等统计量，并根据结果进行进一步的分析和推断。

通常蒙特卡罗方法可以大致分成两类:一种类型是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数。

在本文中我们抽福卡概率测算问题属于前一种类型，即利用计算机生成大量随机数进行模拟计算。

三、应用案例

以中秋集灯笼活动为例，用户可以通过逛游园会、做基础任务（如开通亲情卡、寄快递等）获取1-3个月饼，其中灯笼的类型有红灯笼、绿灯笼、黄灯笼、蓝灯笼、紫灯笼。

集齐3种类型以上灯笼即可参与抽奖。 为增加活动的趣味性，各种类型的灯笼会设置不同概率，特定类型月饼会设定为稀有品种，抽奖概率相对会小很多。

使用基于蒙特卡洛仿真模拟的方法，借用计算机的算力去求解所需的答案，求解模拟用户抽奖达到“集齐”的条件。如下将以一次虚拟的“集灯笼”活动为例，给出主要的求解Python代码和运行结果。

从运行结果可以看出，一名用户集齐1-5种灯笼需要的抽奖次数，同时我们也可以扩展到6种、7种、8种及以上。快速测算集齐各种灯笼所需要的次数，对业务同学设置活动任务数（通过做任务获取福卡）、评估活动成本能起到不可或缺的指导作用。