为了方便起见，合约乘数设置为 1。交易所 A 交易更加活跃，价格变化快于 B。

符号定义

币本位合约

交易所 A 比特币价格低于交易所 B

此时 \(\Delta > 0\)，在交易所 A 做多 1 合约比特币，在交易所 B 做空 1 合约比特币，平仓时：

交易所 A 做多（maker）的损益：

\[ g_A = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} \]

交易所 B 做空（taker）的损益：

\[ g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \]

总损益：

\[ g = g_A + g_B = \frac{1}{p} - \frac{1}{p'} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p'} - \frac{1}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta} \]

令 \(g > 0\)，则：

\[ g = \frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} - \frac{1 + r_B'}{p + \Delta} > 0 \]

解得：

\[ \Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p \]

令 \(p' = kp\)，带入上式得：

\[ \Delta > \frac{1 + r_B'}{\frac{1 - r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 + r_B'}{1 - r_A - \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p \]

交易所 A 比特币价格高于交易所 B

此时 \(\Delta < 0\)，在交易所 A 做空 1 合约比特币，在交易所 B 做多 1 合约比特币，平仓时：

交易所 A 做空（maker）的损益：

\[ g_A = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} \]

交易所 B 做多（taker）的损益：

\[ g_B = \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \]

总损益：

\[ g = g_A + g_B = \frac{1}{p'} - \frac{1}{p} - \frac{r_A}{p} - \frac{r_A'}{p'} + \frac{1}{p + \Delta} - \frac{1}{p'} - \frac{r_B'}{p + \Delta} - \frac{r_B'}{p'} \\ = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} \]

令 \(g > 0\)，则：

\[ g = \frac{1 - r_B'}{p + \Delta} - \frac{1 + r_A}{p} - \frac{r_A' + r_B'}{p'} > 0 \]

解得：

\[ \Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{p'}} - p \]

令 \(p' = kp\)，带入上式得：

\[ \Delta < \frac{1 - r_B'}{\frac{1 + r_A}{p} + \frac{r_A' + r_B'}{kp}} - p = (\frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}} - 1)p \]

或：

\[ -\Delta > (1 - \frac{1 - r_B'}{1 + r_A + \frac{r_A' + r_B'}{k}})p \]

两种情况总结如下表：

U 本位合约

Writing...

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