矢量分析初步主要介绍 “梯度, 散度, 旋度” 的概念及其之间的关系；梯度、散度和旋度是矢量分析中的基本运算符，主要用于描述标量场和矢量场中的变化情况，广泛应用于物理学和工程学中的多个领域

标量场和矢量场

标量场

标量场是物理量为标量所确定的场, 如温度场, 密度场等, 表示为 $$ u = u(x, y, z) $$

矢量场

矢量场是物理量为矢量所确定的场, 如力场, 电场等, 表示为 $$\vec{F} = \vec{F}(x, y, z) $$

方向导数

在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数。 一般为二元函数和三元函数的方向导数，方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数, 表示为 $$ \nabla_{v}u(l) = \frac{\partial u}{\partial l} $$

梯度

梯度表示为

$$ \begin{aligned} &grad ; u(x, y, z) \\ = \ & \vec{e_x}\frac{\partial u}{\partial x} + \vec{e_y}\frac{\partial u}{\partial y} + \vec{e_z}\frac{\partial u}{\partial z} \end{aligned} $$

由哈密顿算符 $$\nabla = \vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$$ 则梯度可以表示为 $$ grad ; u(x, y, z) = \nabla u $$

另外, 标量场的梯度是矢量场

通量

通量表示为 $$ \psi = \int_s \vec{F} \cdot {\rm d}\vec{S} = \int_s \vec{F} \cdot \vec{e_n} {\rm d}S $$ 其中 \(\vec{e_n}\) 的方向与切平面垂直, 为平面 \(S\) 的法向量, 其值为 $$ \vec{e_n} = \nabla S $$

散度

散度表示为 $$ {\rm div} \vec{F} = \frac{\partial \vec{F}}{\partial x} + \frac{\partial \vec{F}}{\partial y} + \frac{\partial \vec{F}}{\partial z}$$ 由哈密顿算符 $$\nabla = \vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$$ 则散度可以表示为 $$ {\rm div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} $$

另外, 矢量场的散度是标量场

环流

环流表示为 $$ \delta = \oint_c \vec{F} {\rm d} \vec{l} $$ 给出环流面密度 $${\rm rot_n} \vec{F} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_c \vec{F} \cdot {\rm d} \vec{l}}{\Delta S}$$

旋度

旋度表示为 $${\rm rot} \vec{F} = \vec{n} \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_c \vec{F} \cdot {\rm d} \vec{l}}{\Delta S} \mid _{max}$$ 由哈密顿算符 $$\nabla = \vec{e_x}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{e_y}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{e_z}\frac{\partial}{\partial z}$$ 则旋度表示为 $${\rm rot} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} $$