介绍了微积分的一些解题方法

Leibniz Rule

莱布尼兹法则适用于求两个函数乘积的 n 阶导数

$$ \begin{aligned} &[u(x)v(x)]^{(n)} \\ = & \sum^n_{k=0} \dbinom{n}{k} u^{(n-k)}(x)v^{(k)}(x) \end{aligned} $$

例： \(n\) 为正整数，求 \(f(x)=x^2e^{-x}\) 的 \(n\) 阶导数

解：

$$ \begin{aligned} & [u(x)v(x)]^{(n)} \\ = & + \dbinom{n}{0} x^2 (e^{-x})^{(n)} \\ & + \dbinom{n}{1} 2x (e^{-x})^{(n-1)} \\ & + \dbinom{n}{2} 2 (e^{-x})^{(n-2)} \end{aligned} $$

使用对数处理“分数次方”或 “\(x^x\)”

取对数可以将 \(n\) 次方提到对数前便于计算

$$ \ln{x^n} = n\ln{x} $$

例 1：\(R=2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}\)，有 \(x+y=a\) ，求取 \(R_{max}\) 时 \(x\) 的值

解：

$$ \begin{aligned} R & = 2x^{\frac{1}{3}} (a-x)^{\frac{1}{2}} \\ \ln{R} & = \ln{[2x^{\frac{1}{3}} (a-x)^{\frac{1}{2}}]} \\ & = \frac{1}{3}\ln{2x} + \frac{1}{2}\ln{(a-x)} \end{aligned} $$

对两侧求导数

$$ \frac{\text{d}{(\ln{R})}}{\text{d}{x}}=\frac{1}{R} = \frac{1}{3x} - \frac{1}{2a-2x} $$

令 $$\frac{\mathrm{d}(\ln{R})}{\mathrm{d}x}=0$$ 有 $$x=\frac{2}{5}a$$ 且为极大值点

例 2： 当 \(n \to \infty \) 时，\((1+\frac{1}{n})^n - e\) 与 \(\frac{a}{n}\) 是等价无穷小，求 \(a\)

解： $$ \begin{aligned} & \lim_{n \to \infty}[{(1+\frac{1}{n})^n - e}] \\ = & \lim_{n \to \infty}[{e^{n\ln{(1+\frac{1}{n})}} - e}] \\ = & e\lim_{n \to \infty}[{e^{n\ln{(1+\frac{1}{n})-1}} - 1}] \\ = & e\lim_{n \to \infty}[n\ln{(1+\frac{1}{n})-1}] \\ = & e\lim_{n \to \infty}\{n[\ln{(1+\frac{1}{n})-\frac{1}{n}]}\} \\ = & e\lim_{n \to \infty}\{n[\frac{1}{n}-(\frac{1}{n})^{2}/2!-\frac{1}{n}]\} \\ \sim & -\frac{e}{2} \cdot \frac{1}{n} \quad (n \to \infty) \end{aligned} $$

所以

$$ a = - \frac{e}{2} $$

两个重要极限和推论公式

两个重要极限公式

$$ \lim_{x \to 0}{\frac{\sin{x}}{x}} = 1 $$

$$ \lim_{x \to \infty}{(1 + \frac{1}{x})^x} = e $$

推论公式

$$ \lim_{x \to \infty}{(1 + \frac{a}{x})^{bx+c}} = e^{ab} $$

对于形如以下极限有

$$ \begin{aligned} & \lim_{x \to \infty}(\frac{x + a}{x - a})^x \\ = & \lim_{x \to \infty}\frac{(1 + \frac{a}{x})^x}{(1 - \frac{a}{x})^x} \\ = & \frac{e^a}{e^{-a}} \\ = & e^{2a} \end{aligned} $$

处理带有绝对值的函数

对于绝对值函数，使用如下方法求导数

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}}|f(x) - a| = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \sqrt{{[f(x)-a]}^2} $$

例： 设函数 \(f(x)\) 可导，\(f(1)=f^{\prime}(1)=\frac{1}{4}\)，若 \(y(x)=|f(x-1)|\)，求 \(y^{\prime}(1)\)

解：

$$ y(x) = \sqrt{[f(x-1)]^2} $$

$$ \begin{aligned} & y^{\prime}(x) \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{2f(x-1)f^{\prime}(x-1)}{f(x-1)^2}\\ \end{aligned} $$

于是 $$ y^{\prime}(1) = -1 $$