1. 题目

如图，在锐角三角形 ABCABC 中，AB<ACAB<AC，ADAD 是 BCBC 边上的高，HH 为垂心，OO 为外心，NN 为 HOHO 的中点，线段 BDBD 内一点 PP 满足 ∠PND=2∠PAD\angle PND = 2\angle PAD。

证明：直线 BCBC 与三角形 AOPAOP 的外接圆相切。

2. 分析

这个题虽然本身和Humpty点不直接相关，但是如果知道其性质，可以帮助我们找到思路。

首先，∠PND=2∠PAD\angle PND = 2\angle PAD 的条件比较好处理，直接取 APAP 中点 EE，显然 EE、PP、DD、NN 共圆。

接下来的问题是，如何处理中点 NN，以及要如何证明结论。

我们先从结论出发。过点 AA、OO 且与直线 BCBC 相切的圆有两个，其中一个的切点为 PP，我们设另一个的切点为 QQ。显然，点 OO 是 △APQ\triangle APQ 的A-Humpty点。

关于Humpty点，除了前面的两篇文章^{1, 2}里面介绍的性质之外，还有一个常用的性质：

在本题中，我们作点 OO 关于 BCBC 的对称点 ZZ，则 APZQAPZQ 为调和四边形。

同时，根据

AH=2OM  ⟹  AH=OZ AH=2OM \implies AH=OZ

可知 NN 也是 AZAZ 的中点。

结合前面 EE、PP、DD、NN 共圆的条件，我们对称的取 AQAQ 中点 FF，可以猜出右边 FF、QQ、DD、NN 也共圆，于是 AA、EE、NN、FF 共圆。

实际上，这个图本身又有一个调和四边形的结论：

在 △APQ\triangle APQ 中，ADAD 为高，EE、FF 分别是 APAP、AQAQ 中点，点 NN 是 DD、EE、FF 关于 △APQ\triangle APQ 的密克点，点 ZZ 是 AA 关于 NN 的对称点，则 APZQAPZQ 为调和四边形。

证明就是简单的位似+倒角即可。

到这里，我们基本就找到了证明所需的路径：

EPDNEPDN 共圆   ⟹  \implies 调和四边形 APZQ  ⟹  APZQ \implies Humpty点 OO

3. 解答

作 OO 关于 BCBC 的对称点 ZZ，则

OZ=AH, OZ∥AH  ⟹  平行四边形 AHZO  ⟹  N 为 AZ 中点 OZ=AH,\, OZ\parallel AH \implies \text{平行四边形}\, AHZO \implies N \,\text{为}\, AZ \,\text{中点}

设 △APZ\triangle APZ 的外接圆与直线 BCBC 交于另一点 QQ，分别取 APAP 中点 EE、AQAQ 中点 FF，则 EF∥PQEF\parallel PQ，△NEF∼△ZPQ\triangle NEF\sim \triangle ZPQ。

由 EE 是 APAP 中点可知 EA=ED=EPEA=ED=EP，故

∠PED=2∠PAD=∠PND \angle PED = 2\angle PAD = \angle PND

因此 EE、PP、DD、NN 共圆。设其圆心为 O1O_1，则

ED=EP  ⟹  EO1⊥PD  ⟹  EO1⊥EF ED=EP \implies EO_1 \perp PD \implies EO_1 \perp EF

可知 EFEF 为 ⊙O1\odot O_1 的切线，因此

∠ZPQ=∠NEF=∠APN \angle ZPQ = \angle NEF = \angle APN

注意到 NN 是 AZAZ 的中点，可知 APZQAPZQ 为调和四边形。故

∠OPQ=∠ZPQ=∠APN∠OQP=∠ZQP=∠AQN \begin{aligned} \angle OPQ & = \angle ZPQ = \angle APN \\ \angle OQP & = \angle ZQP = \angle AQN \end{aligned}

因此 NN 和 OO 关于 △APQ\triangle APQ 等角共轭，故

∠OAP=∠NAQ=∠ZPQ=∠OPQ \angle OAP = \angle NAQ = \angle ZPQ = \angle OPQ

可知直线 BCBC 与三角形 AOPAOP 的外接圆相切，结论成立。