1. 题目

如图，在 △ABC\triangle ABC 中，∠BAC>90∘\angle BAC>90^\circ，DD 是 AA 关于 BCBC 的对称点。点 PP 在 ABAB 的延长线上，∠ACP\angle ACP 的平分线交 ABAB 于点 XX。边 BCBC 上的点 QQ 满足 ∠XQB+∠AXC=90∘\angle XQB + \angle AXC = 90^\circ。求证：∠PDQ+∠BAC=180∘\angle PDQ + \angle BAC = 180^\circ。

2. 分析

显然，这里面第一步就是要想如何处理互余的条件。

2.1. 如何处理条件

注意到 CXCX 是一条角平分线，因此我们可以考虑内、外角平分线的夹角来构造 90∘90^\circ。

我们作 ∠ACP\angle ACP 的外角平分线 CYCY，与 PAPA 的延长线交于点 YY。考虑以 XYXY 为直径的圆：

由条件可知，

∠XQB=90∘−∠AXC=∠XYC \angle XQB = 90^\circ - \angle AXC = \angle XYC

因此点 QQ 就在这个阿氏圆上！

接下来处理要证明的结论，即 ∠PDQ\angle PDQ。

2.2. 如何处理结论

有前面点 QQ 的位置可知

DQPQ=AQPQ=ACPC \frac{DQ}{PQ} = \frac{AQ}{PQ} = \frac{AC}{PC}

而由结论可知 ∠PDQ\angle PDQ 和 ∠PAC\angle PAC 是互补的，因此 sin⁡∠PDQ=sin⁡∠PAC\sin \angle PDQ = \sin \angle PAC。结合正弦定理可反推出

∠APC=∠QPD \angle APC = \angle QPD

这也是我们接下来考虑要证明的方向。

可以看到，△APC\triangle APC 和 △PQD\triangle PQD 这两个三角形有两组边成比例，一个角相等，但是不相似。我们可以考虑如何利用 ∠APC\angle APC 找到一个三角形与 △PQD\triangle PQD 相似。

因此 △OAC∼△OCP\triangle OAC\sim \triangle OCP。

于是 ∠OCP=∠OAC=180∘−∠PAC=∠PDQ\angle OCP = \angle OAC = 180^\circ-\angle PAC = \angle PDQ。

因此我们要证明的相似就是

△OCP∼△QDP \triangle OCP \sim \triangle QDP

当然，这个相似的两个等角都是我们通过结论反推出来的，没有办法直接证明，因此一个自然的思路就是转而去证明

△POQ∼△PCD \triangle POQ \sim \triangle PCD

而这个证明比较简单了。

显然

∠POQ=2∠XCQ=∠PCD \angle POQ = 2\angle XCQ = \angle PCD

其中后一个等式可以由题目中两个对称性的条件得到。

而对应的边的条件则需要利用前面调和点列得到的相似：

OQOP=OCOP=ACCP=CDCP \frac{OQ}{OP} = \frac{OC}{OP} = \frac{AC}{CP} = \frac{CD}{CP}

这样就可以一路反推回去了。

3. 解答

设 △APC\triangle APC 的外角平分线 CYCY 与直线 APAP 的延长线交于点 YY，则 ∠XCY=90∘\angle XCY = 90^\circ，(A,P;X,Y)=−1(A,P; X,Y)=-1。

由

∠XQB=90∘−∠AXC=∠XYC \angle XQB = 90^\circ - \angle AXC = \angle XYC

可知 XX、QQ、CC、YY 共圆。设其圆心为 OO，即为 XYXY 的中点。

由 (A,P;X,Y)=−1(A,P ; X,Y) = -1 可知

OA⋅OP=(12XY)2=OC2 OA\cdot OP = \left(\frac{1}{2}XY\right)^2 = OC^2

于是有 △OAC∼△OCP\triangle OAC \sim \triangle OCP，可知

∠OCP=∠OAC=180∘−∠BAC \angle OCP = \angle OAC = 180^\circ - \angle BAC

且

OQOP=OCOP=ACCP=CDCP \frac{OQ}{OP} = \frac{OC}{OP} = \frac{AC}{CP} = \frac{CD}{CP}

又注意到

∠XOQ=2∠XCQ=∠PCD \angle XOQ = 2\angle XCQ = \angle PCD

因此

△PQO∼△PDC  ⟹  △PQD∼△POC \triangle PQO \sim \triangle PDC \implies \triangle PQD \sim \triangle POC

于是

∠PDQ=∠PCO=180∘−∠BAC \angle PDQ = \angle PCO = 180^\circ - \angle BAC

结论成立。