1. 题目

如图，锐角 △ABC\triangle ABC 的垂心为 HH，BDBD、CECE 是高。设 △ABC\triangle ABC 内的一点 PP 在 △BHC\triangle BHC 的外接圆上，直线 BPBP 与 ACAC 交于点 QQ，直线 CPCP 与 ABAB 交于点 RR。求证：DEDE 平分线段 QRQR。

2. 分析

这个题目一眼看过去，就和所谓的「Humpty点」（或「HM点」）相关：

证明也不难，只需作出点 AA 关于 MM 的对称点 A′A'，则 A′A' 也在 Γ\Gamma 上。因此

MB2=MC2=MB⋅MC=MA′⋅MX=MA⋅MX MB^2=MC^2=MB\cdot MC=MA'\cdot MX=MA\cdot MX

于是 △MBX∼△MAB\triangle MBX\sim \triangle MAB，△MCX∼△MAC\triangle MCX\sim \triangle MAC，可知结论1成立。

由 △ABH=90∘\triangle ABH = 90^\circ 可知 AHAH 是 Γ\Gamma 的直径，因此 ∠HXA′=90∘\angle HXA'=90^\circ，可知结论2成立，进而结论3也成立。

注意到

MD=ME=MB=MC MD=ME=MB=MC

因此

MD2=ME2=MX⋅MA MD^2=ME^2=MX\cdot MA

可知结论4成立。

同时可知 △MEX∼△MAX\triangle MEX \sim \triangle MAX，△MDX∼△MAD\triangle MDX \sim \triangle MAD，因此

∠MEX=∠MAE=∠MBX∠MDX=∠MAD=∠MCX \begin{aligned} \angle MEX &= \angle MAE = \angle MBX \\ \angle MDX &= \angle MAD = \angle MCX \end{aligned}

可知结论5成立。

后面基本就只剩下倒角了。

3. 解答

点 MM 和 XX 的定义如前所示。

注意到

∠RPQ=∠BPC=∠BHC=180∘−∠BAC \angle RPQ = \angle BPC = \angle BHC = 180^\circ-\angle BAC

于是有 AA、RR、PP、QQ 共圆。

又由

∠RPX=∠XBC=∠RAX \angle RPX = \angle XBC = \angle RAX

可知 AA、RR、XX、PP 共圆。

因此 AA、RR、XX、PP、QQ 共圆，故

∠XRQ=∠XAQ=∠XCB∠XQR=∠XAR=∠XBC }  ⟹  △XQR∼△XBC \left. \begin{aligned} \angle XRQ &= \angle XAQ = \angle XCB \\ \angle XQR &= \angle XAR = \angle XBC \end{aligned} \,\right\} \implies \triangle XQR \sim \triangle XBC

结合前面的 AA、EE、XX、DD 共圆，可知点 XX 是完全四边形 ARENQDARENQD 的密克点，因此 RR、EE、XX、NN 共圆。故

∠XNQ=∠XER=∠XMB  ⟹  △XQN∼△XBM \angle XNQ = \angle XER = \angle XMB \implies \triangle XQN \sim \triangle XBM

由 MM 是 BCBC 的中点可知 NN 也是 QRQR 的中点，命题得证。