1. 题目

Let ABCABC be a triangle. Points DD, EE, and FF lie on sides BCBC, CACA, and ABAB, respectively, such that

∠AFE=∠BDF=∠CED. \angle AFE=\angle BDF=\angle CED.

Let OAO_A, OBO_B, and OCO_C be the circumcenters of triangles AFEAFE, BDFBDF, and CEDCED, respectively. Let MM, NN, and OO be the circumcenters of triangles ABCABC, DEFDEF, and OAOBOCO_AO_BO_C, respectively. Prove that OM=ONOM=ON.

2. 翻译

在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD、EE、FF 分别在边 BCBC、CACA、ABAB 上，且满足 ∠AFE=∠BDF=∠CED\angle AFE = \angle BDF = \angle CED．设 OAO_A、OBO_B、OCO_C 分别为 △AEF\triangle AEF、△BFD\triangle BFD、△CDE\triangle CDE 的外心，MM、NN、OO 分别为 △ABC\triangle ABC、△DEF\triangle DEF、△OAOBOC\triangle O_AO_BO_C 的外心，求证：OM=ONOM=ON．

3. 分析

首先，由密克定理可知 △AFE\triangle AFE、△BDF\triangle BDF、△CED\triangle CED 的外接圆交于一点，设为 KK。

我们可以通过倒角，在图中找到大量等角：

可知 △ABC∼△EFD\triangle ABC \sim \triangle EFD，而且这是一个旋转位似，中心就是点 KK。

由此可知，点 MM 和 NN 也是这一个旋转位似变换下的对应点：

此时我们再考察 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C。注意到

∠KOAOC=12∠KOAE=∠KAE \angle KO_AO_C = \frac{1}{2}\angle KO_AE = \angle KAE

于是我们又可以找到很多等角：

可知 △ABC∼△OAOBOC\triangle ABC \sim \triangle O_AO_BO_C，这也是一个旋转位似，中心还是点 KK。点 MM 和点 OO 是这一个旋转位似的对应点。

实际上，点 KK 是 △ABC\triangle ABC、△EFD\triangle EFD 和 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C 的第二布洛卡点。

由旋转位似可知

△OAOBOC∼△ABC  ⟹  △KOM∼△KOAA△OAOBOC∼△EFD  ⟹  △KON∼△KOAE \begin{aligned} \triangle O_A O_B O_C \sim \triangle ABC &\implies \triangle KOM \sim \triangle K O_A A \\ \triangle O_A O_B O_C \sim \triangle EFD &\implies \triangle KON \sim \triangle K O_A E \end{aligned}

由 OAA=OAK=OAEO_AA=O_AK=O_AE 可知 OM=OK=ONOM = OK = ON。

4. 解答

参考原作者Serena An的解答，我懒得打了……

5. 大模型测试

输入：

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使用中文证明下面的几何题，不允许使用解析的方法。
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Let $ABC$ be a triangle. Points $D$, $E$, and $F$ lie on sides $BC$, $CA$, and $AB$, respectively, such that
\[
  \angle AFE=\angle BDF=\angle CED.
\]
Let $O_A$, $O_B$, and $O_C$ be the circumcenters of triangles $AFE$, $BDF$, and $CED$, respectively. Let $M$, $N$, and $O$ be the circumcenters of triangles $ABC$, $DEF$, and $O_AO_BO_C$, respectively. Prove that $OM=ON$.

结果：

• DeepSeek-v4-pro(thinking)：完美完成证明，甚至不需要开启Think Max模式。
• Qwen-3.6-max-preview(thinking)：整体框架正确，但中间一部分证明有误（伪造了一个错误的引理）。
• GLM-5-Turbo(thinking)：纯粹在瞎掰。
• GLM-5(thinking)：思考中终止会话（截至停止思路完全不对）。
• Kimi-2.6(thinking)：前面的思路正确，最后一步拉完了。
• GLM-5.1(thinking)(max_toekns=128K)（无问芯穹）：纯粹在瞎掰。
• minimax-m2.7(thinking)(max_tokens=4K)（无问芯穹）：思考中终止会话，还没找到思路。
• GLM-5.1(thinking)：思考中终止会话，不过实际上已经证出来了。

总体比较：

DeepSeek > 千问 > Kimi ≈ GLM

最终的结果还是比较符合我的刻板印象的……