1. 等角共轭点

考虑 △ABC\triangle ABC 和一点 PP。为了简化，我们要求点 PP 不在直线 ABAB、BCBC、CACA 上，且不在 △ABC\triangle ABC 的外接圆上。

设 △ABC\triangle ABC 的内心为 II，依次作 APAP、BPBP、CPCP 关于角平分线 AIAI、BIBI、CICI 的的对称直线，有角元塞瓦定理可知这三条线交于一点，设交点为 QQ。我们称点 QQ 是点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的等角共轭点。

最经典的一组等角共轭点就是垂心和外心，与之相关的是一个九点圆的经典结论：九点圆的圆心位于垂心和外心的中点。

2. 垂足三角形

考虑 △ABC\triangle ABC 和一点 PP。我们要求点 PP 不在 △ABC\triangle ABC 的顶点上。

我们将点 PP 在 △ABC\triangle ABC 的三边上的投影 PaP_a、PbP_b、PcP_c 构成的三角形称为点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的垂足三角形。对应的，△PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 的外接圆称为垂足圆。

特别地，当点 PP 在 △ABC\triangle ABC 的外接圆上时，退化为 PaP_a、PbP_b、PcP_c 共线（即西姆松线）。

3. 六点圆

接下来我们要证明的结论是「九点圆」的推广：

可以看到，当 PP 和 QQ 分别是垂心和外心的时候，这个垂足圆就是 △ABC\triangle ABC 的九点圆。

证明的思路主要有两个。

一个是先证明两组四点共圆：PbP_b、QbQ_b、PcP_c、QcQ_c 共圆，PcP_c、QcQ_c、PaP_a、QaQ_a 共圆，然后证明这两个圆重合。

另一个是直接证明 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c 的外接圆重合。

3.1. 证明一

注意到

APbAPc=cos⁡∠PACcos⁡∠PAB=cos⁡∠QABcos⁡∠QAC=AQcAQb \frac{AP_b}{AP_c} = \frac{\cos \angle PAC}{\cos \angle PAB} = \frac{\cos \angle QAB}{\cos \angle QAC} = \frac{AQ_c}{AQ_b}

于是有 APb⋅AQb=APc⋅AQcAP_b\cdot AQ_b = AP_c\cdot AQ_c，故 PbP_b、PcP_c、QbQ_b、QcQ_c 四点共圆。

圆心为 PbQbP_bQ_b 和 PcQcP_cQ_c 的垂直平分线的交点，即 PP、QQ 中点。

同理可证，PcP_c、PaP_a、QcQ_c、QaQ_a 四点共圆，圆心为为 PcQcP_cQ_c 和 PaQaP_aQ_a 的垂直平分线的交点，也是 PP、QQ 中点。因此两个圆重合。

故 PaP_a、PbP_b、PcP_c、QaQ_a、QbQ_b、QcQ_c 六点共圆。

3.2. 证明二

我们先考虑点 PP 的垂足三角形。可以证明一个引理：

点 QQ 和 △ABC\triangle ABC 三个顶点的连线，分别垂直于点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的垂足三角形的三条边。

接下来，我们设点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 三条边的对称点依次为 P1P_1、P2P_2、P3P_3。我们可以证明：

点 QQ 是 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的外心。

这其实是得到等角共轭点的第三种方法。

设 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 的外心为 NN。

我们可以看到，△PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 位似，位似中心为 PP，位似比为 1:21:2。

因此它们的外接圆也位似，两个圆心与位似中心共线，且满足 NP:QP=1:2NP:QP=1:2，即点 NN 是 PP、QQ 的中点。

同理，我们考虑点 QQ 的垂足三角形 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c，则它的外心也是 PP、QQ 的中点 NN。

注意到 NN 是直角梯形 PQQaPaPQQ_aP_a 的斜边中点，因此 NPa=NQaNP_a=NQ_a，即两个外接圆的半径相等。故 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c 的外接圆重合。

参考资料：

• Advanced Euclidean Geometry, Roger A. Johnson