起因
我在使用Qwen3.7-Max重测今年USAMO第5题的时候，发现它找到了一个之前AI都没有发现的结论：点 NN 是 KK 关于 △OAOBOC\triangle O_A O_B O_C 的等角共轭点。
这其实是一个一般成立的结论：
设点 KK 关于 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C 三边的对称点为 DD、EE、FF，则 △DEF\triangle DEF 的外心 NN 是点 KK 关于 △OAOBOC\triangle O_AO_BO_C 的等角共轭点。
我在看到这个题的时候，由于解得比较快，加之当时主要是想找一个难度合适的新题来测试AI，因此也没有深究，就没有发现这个条件。
实际上，这是一个和等角共轭点相关的经典结论。
考虑 △ABC\triangle ABC 和一点 PP。为了简化，我们要求点 PP 不在直线 ABAB、BCBC、CACA 上，且不在 △ABC\triangle ABC 的外接圆上。
设 △ABC\triangle ABC 的内心为 II，依次作 APAP、BPBP、CPCP 关于角平分线 AIAI、BIBI、CICI 的的对称直线，有角元塞瓦定理可知这三条线交于一点，设交点为 QQ。我们称点 QQ 是点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的等角共轭点。
最经典的一组等角共轭点就是垂心和外心，与之相关的是一个九点圆的经典结论：九点圆的圆心位于垂心和外心的中点。
考虑 △ABC\triangle ABC 和一点 PP。我们要求点 PP 不在 △ABC\triangle ABC 的顶点上。
我们将点 PP 在 △ABC\triangle ABC 的三边上的投影 PaP_a、PbP_b、PcP_c 构成的三角形称为点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的垂足三角形。对应的，△PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 的外接圆称为垂足圆。
特别地，当点 PP 在 △ABC\triangle ABC 的外接圆上时，退化为 PaP_a、PbP_b、PcP_c 共线（即西姆松线）。
接下来我们要证明的结论是「九点圆」的推广：
考虑一对等角共轭点 PP 和 QQ，它们对应的垂足三角形 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c 的六个顶点共圆，且圆心是 PP、QQ 的中点。
即等角共轭点的垂足圆重合。
可以看到，当 PP 和 QQ 分别是垂心和外心的时候，这个垂足圆就是 △ABC\triangle ABC 的九点圆。
证明的思路主要有两个。
一个是先证明两组四点共圆：PbP_b、QbQ_b、PcP_c、QcQ_c 共圆，PcP_c、QcQ_c、PaP_a、QaQ_a 共圆，然后证明这两个圆重合。
另一个是直接证明 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c 的外接圆重合。
注意到
APbAPc=cos∠PACcos∠PAB=cos∠QABcos∠QAC=AQcAQb \frac{AP_b}{AP_c} = \frac{\cos \angle PAC}{\cos \angle PAB} = \frac{\cos \angle QAB}{\cos \angle QAC} = \frac{AQ_c}{AQ_b}
于是有 APb⋅AQb=APc⋅AQcAP_b\cdot AQ_b = AP_c\cdot AQ_c，故 PbP_b、PcP_c、QbQ_b、QcQ_c 四点共圆。
圆心为 PbQbP_bQ_b 和 PcQcP_cQ_c 的垂直平分线的交点，即 PP、QQ 中点。
同理可证，PcP_c、PaP_a、QcQ_c、QaQ_a 四点共圆，圆心为为 PcQcP_cQ_c 和 PaQaP_aQ_a 的垂直平分线的交点，也是 PP、QQ 中点。因此两个圆重合。
故 PaP_a、PbP_b、PcP_c、QaQ_a、QbQ_b、QcQ_c 六点共圆。
我们先考虑点 PP 的垂足三角形。可以证明一个引理：
点 QQ 和 △ABC\triangle ABC 三个顶点的连线，分别垂直于点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 的垂足三角形的三条边。
证明
我们只需要证明 QA⊥PbPcQA\perp P_bP_c 即可。这个比较简单：
∡QAB=∡CAP=∡PbPcPAB⊥PPc} ⟹ QA⊥PbPc \left. \begin{gathered} \measuredangle QAB = \measuredangle CAP = \measuredangle P_bP_cP \\ AB \perp PP_c \end{gathered} \right\} \implies QA \perp P_bP_c
同理可知另外两组 QB⊥PcPaQB\perp P_cP_a、QC⊥PaPbQC\perp P_aP_b 也成立。
实际上，这是得到等角共轭点的第二种方法：
过 △ABC\triangle ABC 的三个顶点，分别向点 PP 的垂足三角形的三条边作垂线，则这三条垂线交于点 PP 的等角共轭点。
接下来，我们设点 PP 关于 △ABC\triangle ABC 三条边的对称点依次为 P1P_1、P2P_2、P3P_3。我们可以证明：
点 QQ 是 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的外心。
证明
由对称可知，AP2=AP=AP3AP_2=AP=AP_3。有前面的引理可知 QA⊥PbPcQA\perp P_bP_c，于是有 QA⊥P2P3QA\perp P_2P_3，因此 QAQA 是 P2P3P_2P_3 的垂直平分线。
类似的，QBQB 是 P3P1P_3P_1 的垂直平分线，因此点 QQ 是 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 的外心。
这其实是得到等角共轭点的第三种方法。
设 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 的外心为 NN。
我们可以看到，△PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △P1P2P3\triangle P_1P_2P_3 位似，位似中心为 PP，位似比为 1:21:2。
因此它们的外接圆也位似，两个圆心与位似中心共线，且满足 NP:QP=1:2NP:QP=1:2，即点 NN 是 PP、QQ 的中点。
同理，我们考虑点 QQ 的垂足三角形 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c，则它的外心也是 PP、QQ 的中点 NN。
注意到 NN 是直角梯形 PQQaPaPQQ_aP_a 的斜边中点，因此 NPa=NQaNP_a=NQ_a，即两个外接圆的半径相等。故 △PaPbPc\triangle P_aP_bP_c 和 △QaQbQc\triangle Q_aQ_bQ_c 的外接圆重合。
参考资料：
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