简介

与状态空间模型不同，输入输出模型直接将系统的输入和输出联系起来，而无需通过状态方程描述内部结构，通常将系统视为一个黑箱。输入输出稳定性关注输入与输出之间的关系，而Lyapunov稳定性则着重于系统状态的演变。

稳定性

考虑输入输出关系由如下方程描述的系统

其中，是一个映射或者算子。输入属于一个信号空间，该信号空间中的信号是个函数，将时间区间映射到欧氏空间。引入范数来描述信号的大小。接着便为、和函数空间定义范数。为了与作为中向量的范数区别开来，用表示作为函数空间中函数的范数。的定义基于，但要将它们与在欧氏空间中的几种范数、、区别开来。

按照上述记号规则，可以将定义为从到的映射。但这种定义方式并不合适，因为需要考虑不稳定系统。对于不稳定系统，输入可能导致输出不属于。因此，通常定义为从扩展空间到扩展空间的映射，扩展空间定义为 其中，是的截断函数，定义为

这种截断方式要求空间中的函数，即使在无限时域上可能无界，也必须在每个有限时间段内表现得如同空间中的函数一样。因此，是的子集。

映射被称为因果映射，如果在任意时间的输出只依赖于输入在时刻及之前的值。因果性（causality）是由状态空间模型表示的动态系统的内在特性，它的定义等价于

有了输入输出信号空间的定义，便可以定义输入输出稳定性（input-output stability）。

对于稳定的因果系统，可推得，即输入属于空间，则输出也属于空间。而有限增益稳定性不仅要求输出在空间内，还对输入信号增益有限制。

在讨论不同类型的函数空间（、和）时，有不同的稳定性定义，如稳定性和稳定性，这是由于不同函数空间中的信号特征不同。以空间为例，该空间包含按段光滑有界函数，因此稳定性对应于我们熟悉的有界输入有界输出稳定性（bounded-input-bounded-output stability）的概念。

上述定义要求不等式对输入空间中的所有信号都成立。对于很多实际系统，输入输出之间的关系只定义在输入空间的一个子集上。于是便催生出了小信号稳定性的概念：

小信号稳定性更适合用于分析系统在特定工作点的行为，而稳定性则更适合于分析系统整体或在整个工作范围内的行为。

状态空间模型的稳定性

Lyapunov稳定性侧重于研究平衡点的稳定性以及状态的渐进特性。接下来探讨如何利用Lyapunov稳定性分析工具来建立由状态空间模型表示的非线性系统的稳定性。系统状态空间模型为

稳定性定理体现了与输入到状态稳定（input-to-state stability）的关系：

小信号稳定性定理体现了与渐进稳定（asymptotically stability）的关系：

增益

稳定性是系统分析中非常重要的概念。因为平方可积信号可以视为能量有限的信号，在实际中很常见。在很多控制问题中，例如控制，系统表示为输入到输出的映射，并希望这个映射尽可能小。对于输入信号，要确保系统输入到输出映射是有限增益稳定，而且努力使增益达到最小。分析这些问题时，不仅要能够判断系统是有限增益稳定的，而且还要计算出增益或者它的上限。

对于线性系统，有如下结论：

从上述定理可知，就是增益，而且它就是的范数。

对于非线性系统，有两个结论。第一个结论与系统的无源性有关：

第二个结论则与所示的Hamilton-Jacobi不等式有关：

参考资料

1. 非线性控制