„Wie viele Paare aus Punkten können auf einer Fläche genau den gleichen Abstand zueinander haben?“ Das ist das „planar unit distance“-Problem, für dessen Lösung der berühmte ungarische Mathematiker Paul Erdős 1946 sogar ein Preisgeld versprach. Doch trotz dieser Extra-Motivation konnten die Forscher das Problem in den vergangenen 80 Jahren nicht lösen. Man hatte sich nur auf eine Vermutung geeinigt; Dass ein Quadratgitter im Wesentlichen die beste Anordnung ist, um die Anzahl von Punktpaaren mit gleichem Abstand zu maximieren.

Eine interne KI von OpenAI, ein allgemeines Reasoning-Modell, hat diese Annahme nun laut dem Unternehmen widerlegt: Es gäbe Anordnungsmöglichkeiten für Punkte, bei denen es noch mehr Paare mit gleichem Abstand gibt. Wie die KI auf ihre Lösung gekommen ist, ist jedoch vielleicht der eigentliche Clou. Denn sie hat sich für dieses Problem aus der Geometrie bei einem anderen Mathematikbereich bedient: bei der algebraischen Zahlentheorie.

Als würde man ein Architekturproblem mit Musiktheorie lösen

Vereinfacht gesagt sind Abstände zwischen zwei Punkten immer auch eine Gleichung. Man könnte das Problem also auch lösen, indem man Punktmengen sucht, bei denen diese Gleichung ungewöhnlich oft lösbar ist. Die algebraische Zahlentheorie arbeitet hier mit deutlich mehr und exotischeren Zahlenbereichen als die Geometrie. Dadurch fand die KI eine Möglichkeit, wie noch viel mehr Punkte auf einer Fläche den gleichen Abstand zueinander haben können als bisher gedacht. Oder bildlich ausgedrückt: Die Geometrie hat bisher versucht, das Problem mit Legosteinen zu lösen. Die KI hat mit der algebraischen Zahlentheorie nun Bausteine gefunden, die viel raffinierter sind und sich daher noch effektiver zusammenpuzzeln lassen.

Übrigens: Während dieses Problem sehr abstrakt ist, ist die richtige Anordnung von Punkten im Raum ein sehr alltägliches Problem. Von Satelliten über Mobilfunkmasten und WLAN-Routern bis hin zur Navigation – sie alle brauchen eine möglichst optimale Anordnung zueinander, sodass zum Beispiel keine Funklöcher entstehen, aber auch keine Signale einander zu sehr überlagern. Wenn das „planar unit distance“-Problem gelöst würde, könnte uns das neue Erkenntnisse über die perfekte Anordnung von Dingen im Raum geben, die uns auch bei alltäglichen Dingen weiterhelfen.

Mehrere Mathematiker haben den Beweis der KI geprüft und für korrekt befunden. In ihrer Stellungnahme weisen die Wissenschaftler jedoch darauf hin, dass „die Argumentation“ sich „entscheidend“ auf „Ideen“ stützt, „die – zumindest im Nachhinein – Ellenberg-Venkatesh, Golod-Shafarevich und Hajir-Maire-Ramakrishna zugeschrieben werden können.“ Das Statement ist bei OpenAI und auf dem Preprint-Server arXiv veröffentlicht worden.

Unabhängig von dem konkreten mathematischen Problem und seiner Lösung gilt jedoch: Dass diese KI jetzt so konsistent und stringent an einem so komplexen Problem gearbeitet hat, eröffnet neue Möglichkeiten für den Einsatz von KI in der mathematischen Forschung.

Ob die KI jetzt auch das Preisgeld bekommt, das Paul Erdős ausgelobt hat? Dringend gebrauchen könnte sie es. Denn während sie an mathematischen Problemen rätselt, hat die Menschheit das Problem mit ihrem teuren Stromhunger noch lange nicht gelöst.

(rie)