到目前为止，本篇是「如何选择一支好基金系列」文章第五篇，前四篇文章我们从基金公司、基金经理的选择及基金种类、基金相关概念解析等宏观角度对如何选择基金进行分析，而本篇文章我们尝试从微观切入，了解如何使用数学工具对一支基金收益能力、抗风险能力、投资性价比等三个维度进行评价，从而对一支基金优秀与否建立更清晰认识，进而帮助我们选择一支优秀基金。
注：当然在本篇中涉及的部分概念在前文也有讲过，但为了文章完整性，考虑到部分读者可能未阅读本系列其余文章，故未删除。
1.概述
「年化收益率」概念可分为两部分理解，即「年化」与「收益率」。「年化」，顾名思义，就是年度化，是将某段时间的某项数据年度化；「收益率」是指某段时间收益占该段时间投入本金的百分比。故「年化收益率」为将某段时间收益占本金百分比年度化后的数据。
大家需要清楚的是年化收益率数值不意味当年就是该收益率，年化收益率只是根据当前某段时间收益率估计全年收益率，起到在一定程度上让我们了解一支基金收益水平的作用。
2.计算公式
（1）公式：年化收益率=[（（ n 天收益/起始本金）/ n 天）* 365 ] * 100%
（2）解析
①（ n 天收益/起始本金）：即 n 天收益率；
②（（ n 天收益/本金）/ n 天）：将 n 天收益率算数平均后得出这 n 天的日平均收益率；
③（（ n 天收益/本金）/ n 天）* 365 ：是将 n 天的日平均收益率乘以一年 365 天，即年化收益率。
3. 衡量标准（实例）
年化收益率高低如何衡量？如下图所示不同类型基金年化收益率是不同的，当然年化收益率可能会随着投资年限长短或经济大环境影响而发生变化，如下图所示数据只是为辅助我们投资者对基金收益保持更合理预期。
4.应用
年化收益率的价值在于通过短期收益情况估算全年收益水平，在一定程度上便于投资者对某支基金全年收益有大致了解，但数值仅供参考。
1. 概述
基金几何月平均收益率是将基金每月收益率平均值年度化后的几何月回报，该数值可用于计算基金回报标准差。
几何回报：几何回报与算数回报相对，是在考虑了复利情况下的回报计算方式。例：假设我们在 1 月投资 1 万元购买了一支基金，到 1 月底收益 1000 元，那么我们在 2 月的本金就是 1.1 万元，不能继续以 1 万元作为本金，而这种考虑了复利（将 1 月利润算作二月本金的方式）的收益率计算方式得出的收益率就是几何收益率。
2. 计算公式
（1）公式
Gj = [(1+R1j)1/n(1+R2j)1/n…(1+Rnj)1/n-1]
（2）解析
① Rnj：表示 n 月收益率;
②（1+Rnj）：表示 n 月本金与收益整体变化情况；
③（1+R1j）（1+R2j）…（1+Rnj）：表示 n 月的总体收益率；
④（1+R1j）（1+R2j）… (1+Rnj)1/n：n 月内平均每月本金与收益总体变化情况；
⑤ [(1+R1j)1/n(1+R2j)1/n…(1+Rnj)1/n-1]: n 月内平均几何月平均收益率；
下面我以实例验证：假设本金是 1 元，1 月收益率是 20%，2 月收益率是 50%，那么 1 月、2 月这 2 个月整体收益率是多少？
收益率 = 利润 / 本金，那么 1 月、 2 月这 2 个月利润是不是 1 元（本金）70% = 0.7元？当然不是，利润要分开来算，1 月利润是 1 * 20% = 0.2 元，2月利润是在 1 月本金+ 1 月收益基础上构成 2 月本金，即（1+0.2）*0.5,
1 月、2 月这 2 个月本金 + 利润：1+10.2+（1+0.2）*0.5=（1+0.2）（1+0.5）=1.8 元。
3.衡量标准（实例）
如下图所示几何月平均收益率衡量标准来自上文年化收益率开 12 次方（一年12 个月）后的数据，同样，如下图所示数据仅供参考。
4.应用
平均月几何收益率是考虑了复利前提下更为精准的收益率计算方式，这种计算方式既是为我们投资理财提供收益的计算方式，也为我们在日常学习投资理财过程中对不同形式收益率有一定辨别能力。
1.概述
标准差，也叫标准偏差（标准偏差可能更贴合这个概念实际意义），标准差反映的是一组数据整体上偏离标准（平均值）的程度。将标准差运用到基金上可以反映基金涨跌波动程度，进而体现基金风险大小。
2.计算公式
（1）公式
其中为标准差，xi 为变量，为平均值，n 为总数。
（2）解析
①
即一组数据中每 xi 个数值与平均值差值的平方再开根号。这部分反映的是一组数据整体偏离平均值程度。这里我要说一下，「平方再开根号」看起来很多余，但其实是为了把无论正向还是负向的波动都考虑在内，而不是让正负相抵消。
②
即将整体波动程度除以这组数值数量，得出平均到每个数值波动程度。
③
再开方（算数平方根）即得到标准差。
例:
假设我们有两组数据：
第一组：0，1，5，10；
第二组：3，4，5，4。
根据以上公式得出：第一组数据方差 = 10.5；第二组数据方差 = 0.5。
为什么第一组数据标准差比第二组数据大很多？
经计算我们知道两组数据的平均数都是 4，但第一组数据中每个数值离平均数 4 都比较远，而第二组数据每个数值离平均数 4 都比较近，故标准差很好反映了这种数据上的波动性。
3.衡量标准（实例）
一支基金标准差多大算大，多小算小，这需要结合基金类型做判断，原则上是收益越大，风险越大，进而标准差也会越大，也就是说标准差大小排名是股票基金 ＞ 混合基金 ＞ 债券基金 ＞ 货币基金。
我们以蚂蚁财富提供的各类型表现优秀基金波动率（波动率计算公式）倒推标准差平均指标如下表格，让大家对标准差数值有基本了解。
4.应用
我们通过对比同一类型中不同基金标准差大小从而对一支基金风险控制能力有一定掌握，即标准差越大，风险控制能力可能越差，当然标准标准差不是衡量基金风险控制能力的唯一数值，下文中的最大回撤等概念也同样是衡量一支基金风险控制能力的数值，所以我们需要综合来判断。
1.概述
最大回撤指某支基金在某时间段内任一高点到其后续最低点（仍在此时间段内）下跌幅度的最大值，而最大回撤率是以百分比的形式更好地量化这个时间段的最大跌幅。最大回撤率反映的是一支基金在某段时间的风险控制能力。
3. 计算公式
（1）公式
最大回撤率=（任一高点净值-后续最低点净值）/该高点净值。
（2）解析
①（任一高点净值-后续最低点净值）：即这段时间最大跌幅；
②（任一高点净值-后续最低点净值）/任一高点净值：即这个时间段最大回撤率。
例：如下图所示是简化版的策略收益曲线图（横轴是时间，纵轴是收益），我们尝试以此实例计算这段时间最大回撤率。
最大回撤：这段时间最大回撤是从I点到其后续最低点 J 点吗？答案：不是，原因是 I 点净值减 J 点净值不是最大跌幅，C 点到其后续 F 点才是此时间段内最大跌幅，在计算最大回撤时这是我们需要注意的。
最大回撤率：最大回撤率（ A 点到 J 点时间段）=（ C 点净值- F 点净值）/ C 点净值。
3.衡量标准（实例）
一支基金最大回撤率多大算大，多小算小，同上文标准差一样需要结合基金类型做判断，原则也是收益越大，风险越大，最大回撤率排名也是股票基金 ＞ 混合基金 ＞ 债券基金 ＞ 货币基金。
如下图所示是各类型基金中最大回撤（率）表现优秀的基金（数据来自：蚂蚁财富），通过了解如下数据能够让我们对各类型基金最大回撤（率）在心中设置一个锚点，能够更好判断基金的最大回撤率表现。
4.应用
最大回撤（率）是个重要的指标，尤其对股票基金这种波动性较大的基金而言，具体用途有两方面：
（1）在收益率接近的同类型基金之间通过结合最大回撤率数值的判断，从而选择风险控制能力更为优秀的基金；
（2）将基金的最大回撤率与对我们自身风险接受能力结合起来，从而衡量某支基金可能出现的最大的风险（写跌幅度）是否在我们接受范围内，进而指导我们选择基金。
1. 概述
夏普比率是衡量承担一分风险能获得几分收益的数值，对于投资来说，我们总是希望承担最小风险，获得最大的收益。
2. 计算公式
（1）公式
夏普比率 =（E(Rp) — Rf） / σp
E(Rp) 是投资组合预期年化收益率；Rf 是年化无风险利率；σp 是年化收益率标准差。、
E(Rp)： 预期年化收益率。 投资组合本文第一个概念已谈及，这里不再赘述。
Rf：年化无风险利率。利率是对机会成本与风险的补偿，其中机会成本是说我们把钱交给了某基金（或其他理财产品），而没有给某银行（或另外投资对象）所付出的成本，而这部分机会成本就是无风险利率，至于年化无风险利率，就是将某段时间无风险利率年度化，现实当中因国债利率基本无风险特性可应用为无风险利率。
如果各位有兴趣，可以浏览视频了解年化无风险利率计算方法。
σp：投资组合年化收益率标准差。标准差计算方式上文已阐述，这里不再赘述。
（2）解析
① E(Rp) — Rf ：E(Rp)（ 投资组合预期年化收益率=无风险利率+机会利率）-Rf（年化无风险利率）= 机会利率
②（E(Rp) — Rf） / σp机会利率除以风险（标准差）的意义在于衡量我们为获得机会利率所承担风险的大小。
3.衡量标准（实例）
夏普比率自然是越高越好，但现实当中那些综合表现优秀的基金夏普比率又是多少呢？如下图所示各类型表现优秀基金夏普比率对比（数据来自：蚂蚁财富），当然数据只是在一定程度上为我们提供对夏普比率的合理预期。
4.应用
我们投资理财要追求在同等风险下，收益最大，或在同等收益下风险最小，夏普比率数值分为如下三种情况：
① 夏普比率 > 1 时，每承担1份风险获得的收益都大于 1，故承担的风险是值得的；
② 夏普比率＜1 时，每承担1份风险获得的收益都是小于 1 的，故不值得承担这份风险；
③ 夏普比率 = 1 时，意味着收益与风险的关系是 1:1，从不赔的角度来说也是值得的。
1.概述
贝塔系数是用来反映个体相对整体波动性的数值，针对某支基金而言，贝塔系数是反映这支基金相对大盘（在国内就是A股市场）而言的风险情况。
例：假设国内某支基金的贝塔系数是 1.2，代表这支基金波动性大于 A 股市场波动性，如果我们以上证指数代表 A 股市场整体情况，那么当上证指数上涨 100% 时，这支股票上涨 120%，当上证指数下跌 100% 时，这支股票下跌 120%。
2.计算公式
（1）公式
a=ρam * σa /σm
（ρam：证券a与市场相关系数；σa为证券a标准差，σm为市场标准差。）
（2）解析
① σa /σm：证券 a 标准差与市场整体标准差之间的比值，反映的是证券 a 相对市场风险的大小；
② ρam * σa /σm：证券 a 相对整体市场相关性大小乘以证券 a 相对整体市场标准差比值后得出证券 a 与市场整体风险大小的关系。
3.衡量标准
如下图所示是在晨星中国上三年和五年表现都是五颗星基金（综合表现优秀）贝塔系数对比，当然数据只是在一定程度上为我们提供对贝塔系数的合理预期。
4.应用
贝塔系数能为我们在投资理财中提供哪些支持？常见有如下两种：
（1）获取收益，抵御风险：贝塔系数不是一个仅通过数值高低就能判断好坏或者优劣的数值，但这种特性也能够为我们所用，具体来看是当股市处于牛市时，可以选择贝塔系数较高的基金，以期获得较高收益；当股市处于熊市时，可以选择贝塔系数较低的基金，以期尽可能减小损失。
（2）指导构建投资组合：根据我们个人风险接受程度，在选择某支基金或构建基金投资组合时，结合本人风险接受水平，参考贝塔系数选择适合我们的基金。
1.概述
阿尔法系数是衡量基金管理方绝对收益能力与预期风险回报之间的比较值，通过此比较值来衡量一支基金是否值得买入。
2.计算公式
（1）公式
阿尔法系数 = 绝对收益 - 预期风险回报收益
绝对收益 = 基金实际收益 - 无风险投资收益（一般采用同期国债利率）
预期风险回报收益 = 贝塔系数 * (预期收益-无风险收益)
（2）解析
① 绝对收益：基金实际收益减去无风险投资收益（即与基金管理方管理能力无关收益），这部分差值可以反映基金管理方凭借管理能力获得的收益。
② 预期风险回报收益:
(预期收益-无风险收益)：即因承担风险获得的收益。
贝塔系数 * (预期收益-无风险收益)： 「因承担风险获得的收益」再乘以贝塔系数反映的是在考虑了整体对个体风险影响后的个体预期风险收益。
③ 绝对收益 - 预期风险回报收益：此差值是因「基金管理方管理能力获得的收益」与「因一支基金承担风险而获得的预期收益」之间的大小比较，是衡量一支基金承担风险所获得的收益是否值得的数值。
3.衡量标准（实例）
同上文贝塔系数，如下图所示是在晨星中国上三年和五年表现都是五颗星基金（综合表现优秀）阿尔法系数对比，当然数据只是在一定程度上为我们提供对阿尔法系数的合理预期。
3. 应用
根据以上对于计算公式的分析，我们可以得出如下结论：
（1）当 α > 0 时，即绝对收益 > 预期风险回报收益时，说明投资技术胜过市场风险，基金值得继续买入。
（2）当 α < 0 时，即绝对收益 < 预期风险回报收益时，说明投资技术未战胜市场风险，不值得继续投资。
（3）当 α = 0 时，即绝对收益 = 预期风险回报收益时，说明某支基金价格能够准确反映其价值，可进一步观望。
1. 概述
R 平方反映的是系统风险在总风险中的比重，而将 R 平方应用在投资理财中可以用来反映一支基金受基准系数的影响程度，R 平方越大，基准指数对该基金影响越大，反之，则越小。
注：基准指数，也就是基金的业绩比较方式，具体有两种：
（1）全域比较或将全部基金、同组基金放在一起进行排名，像我们比较熟悉的沪深 300 指数基金就是可以作为全域比较的业绩标准，而上证 50 等业绩基准是相对小范围的业绩比较标准。
（2）基金事先确定的基准。在基金年报告、半年报告和季度报告中，基金管理人都必须披露 净值增长率 与其同期业绩 基准收益率 的比较，如下图所示是广发高端制造 A 基金的业绩比较标准。
2. 计算公式
R 平方 = SSR/SST = SSR / (SSR+SSE)
（1）公式
SSR（回归平方和）：代表回归关系中可被解释的部分,也就是基准指数对该基金的影响程度；
SSE（残差平方和）：代表回归关系中不可解释的部分。
SST（总平方和）：代表总的变异程度。
SST（总平方和） = SSR（回归平方和）+ SSE（残差平方和）
（3）解析
以上公式涉及统计相关知识，不在这里赘述，有兴趣的小伙伴可以进一步了解。（也是我能力达不到…）
3. 衡量标准（实例）
R 平方大小如何衡量？一支基金 R 平方多大算大，多小算小，针对不同基金可能数据也不尽相同，如下图所示是在晨星中国上三年和五年表现都是五颗星基金（综合表现优秀）R 平方数值对比，让大家对 R 平方数值有基本了解。
4.应用
R平方反映的是一支基金受基准系数影响的程度，贝塔系数是用来反映个体相对整体波动性的数据，当R平方越大时，一支基金受基准系数影响程度越大，贝塔系数与阿尔法系数也就越准确，所以说 R 平方可以作为贝塔系数与阿尔法系数应用的一个前提。
R平方影响程度以 0 至 100 计，具体如下：
（1）R 平方值 = 100 ，表示基金回报的变动完全受基准系数影响，此时贝塔系数与阿尔法系数数值最为准确。
（2）R 平方值 = 0， 表示基金回报的变动完全受个体（自身）风险影响，此时贝塔系数与阿尔法系数数值最不准确。
（3）当0＜R 平方值＜100，表示基金回报变动同时受系统风险与个体风险影响，此时 R 平方值越大，贝塔系数与阿尔法系数数值越准确，反之，越不准确。
1.概述
收益回撤比，顾名思义是指收益与最大回撤（风险）比值，通过此项数值可以判断一支基金投资的性价比高低，与夏普比率性质较为类似。
4.计算
（1）公式
收益回撤比 = 某段时间年化收益率 / 该段时间最大回撤率
（2）解析
年化收益率与最大回撤的计算方式参见上文，这里不再赘述。
3.衡量标准
如下图所示是各类型基金中收益回撤比表现优秀的基金（数据来自：蚂蚁财富），通过了解如下数据能够让我们对各类型基金收益回撤比在心中设置一个锚点，能够更好判断基金的收益回撤比表现。
4.应用
收益回撤比越大，则表示投资性价比越高，反之，则投资性价比越低。
本篇文章我们介绍了几个数学概念，希望能够在我们选择一支基金时提供一定帮助。
下篇文章我们一起聊聊晨星评级内容，虽然我们一直都在使用晨星网为我们选择基金提供帮助，但我们更多可能是聚焦在星级的高低，没有深入了解过晨星评级的方法论，下篇文章我们就尝试解剖晨星评级方法论，让我们明明白白使用晨星评级。
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