最近在沉迷一款叫做 euclidea 的游戏，这款游戏简单的说，就是通过尺规作图来构造几何图形，算是一款数学解密游戏。

什么是尺规作图

尺规作图是源于古希腊的数学课题，指在只用圆规和没有刻度的直尺来解决平面几何作图需求。

大家可能比较熟知的反而是尺规作图法不能解决的三个问题：

1. 化圆为方：求一个正方形边长使其面积与已知圆相等
2. 三等分角：求一个已知角度的三分之一
3. 倍立方：求一个立方地棱长，使其体积是已知立方体的二倍

前几年的时候，每年都有不少民科，自称自己找到了解决这三大难题的步骤，然而都是错漏百出，不是忽视了前提就是使用了特殊的工具。

不过这几年少多了，可能这帮人都去研究永动机了吧……

最基本的两个步骤

其中一个是画直线，也就是连接两个点，做一条无限长的直线，就像这样：

第二个是通过一个点，画一个圆，半径可以是随便的，也可以是另一个点：

然后就没了，就这两个步骤了。

热身题：根据已有的一条直线，构造一个60度角

这个题非常简单，因为60°角是圆形中最容易构造的角度了，只需要两个圆就可以，像这样：

稍微挑战：做一个圆的内切正方形

这个题思路比较好想，因为已知圆心和圆上一点，可以做一条直径，然后根据这个直径做垂直平分线，就能找到内切正方形的另外两个点。连接之后就是内切正方形了。

精益求精：找到最优解

但是！

这个题难就难在有解题步骤限定上了，我们回顾一下刚才的步骤：

1. 做直径（1E）
2. 垂直平分线（3E）
3. 连接四个点（4E）

加起来一共要用8步，并不是最优解。

怎么优化呢？

还记得刚才做60°角的那两个圆吗？

现在相当于是，已知了上面两个点，要在下面对称的点(这个点目前还是未知的，其实你还不知道)做一个直角。

圆内做直角最快的办法就是找一个直径，直径两端的连接点和端点的夹角就是90°了，观察到这里面点之间的间距除了 R 之外，就是 √3*R 了。

R 构造的圆肯定用不了，因此我们构造一个 √3*R 为半径的圆：

！！！发现了吗，这个圆和基本圆的交点 C 就是我们需要的一个顶点！

接着找一个过 C 的直角。

我们知道 ∠ABC 是60°，∠OCB 是30°，连接 OB。

我多做了几条辅助线，只是为了表达思路：

图中 ∠OBC = 30°，因此 ∠BOC 也是 30°。

因此 ∠CBE = 150°，因为 BC = BE ，所以叫 ∠BCD = 45°。

因此 D 就是正方形的一个顶角。

对称的看另一边，OB 和圆的交点 F，连接 CF，交点 G 就是正方形的另一个顶点了。

最后连接正方形四边，这个作图的方法优势在于直接构造了一个直角，节省了重新连接正方形两个底边的作图工序，最后的完整图是这样的：

一共只需要 7E，就可以完成整个作图步骤了，整整少了 1步 ！！

后记

上面摘选了两个有意思的入门级题目，来展示尺规作图的有趣之处，几何学是不是很有意思呢？