【直观算法】二叉搜索树算法总结

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【阅读内容】结合Leetcode相关算法题总结二叉搜索树的相关算法，包括基本的二叉搜索构建和应用，附带一些关于AVL树，红黑树的基本概念梳理

是什么

二叉搜索树（Binary Search Tree）BST是大名鼎鼎的搜索算法。在算法界，$O(n)$ 到 $O(\log_2 n)$ 的效率优化大多和BST有关

用白话文来说，二叉搜索树是一颗对于所有节点左孩子＜根，右子树＞根的二叉树

基本操作

构建

已经给出了定义，Leetcode中有一道将升序数组转换成平衡二叉搜索树的题目。根据二叉树遍历一节的内容，中序遍历的顺序是左 ➜ 根 ➜ 右，再结合二叉搜索树的定义。观察知，二叉搜索树的中序遍历就是一个升序数组。那么问题就转换成了，哪颗平衡二叉树的中序遍历是这个升序数组

因为题目要求平衡二叉树，保证所有子树的高度一样，必须二分输入序列

假设输入序列为[-10,-3,0,5,9]，根节点一定在mid = (start + end) // 2 位置，由递归思维：假设再次调用的函数的返回值是已经完成的子树，也就是说只需把[0, mid-1]代表的树作为左子树，和[mid+1, end]代表的树作为右子树即可

class Solution:
    def sortedArrayToBST(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: TreeNode
        """
        if not nums: return None
        
        mid = len(nums) // 2
        root = TreeNode(nums[mid])
        root.left = self.sortedArrayToBST(nums[ : mid])
        root.right = self.sortedArrayToBST(nums[mid+1 : ])

        return root

查找

最常见的二叉树操作，查找一个对应节点，平均查找长度为 $\log_2(n)$ 。二叉搜索树性质，左孩子＜根＜右孩子，按照规律进行递归即可。省略迭代写法，只需要按照顺序进行一个节点一个节点顺下即可，非常简单

class Solution:
    def searchBST(self, root, val):
        """
        :type root: TreeNode
        :type val: int
        :rtype: TreeNode
        """
        if not root or root.val == val:
            return root
        return self.searchBST(root.left, val) if val < root.val else self.searchBST(root.right, val)

判断

相关例题：98. Validate Binary Search Tree

【输入】给定一个树的结构【操作】判断这颗树是不是二叉搜索树【输出】True or False

① 使用中序遍历，结果是升序序列则为二叉搜索树（前面讲定义的时候已经讲解的原因）

② 去重复操作。①中在遍历过程就可做判断，不需要重新再做一次升序判断

这里实现使用迭代写法，递归写法比较简单

class Solution(object):
    def isValidBST(self, root):
        """
        :type root: TreeNode
        :rtype: bool
        """
        
        if root is None: return True
        stack, inorder = [], []   
        p_node = root
        pre_node_val = float("-inf")
        while stack or p_node:  
            while p_node:
                stack.append(p_node)
                p_node = p_node.left      
            cur_node = stack.pop()
            inorder.append(cur_node.val)
            if pre_node_val >= cur_node.val:
                return False
            pre_node_val = cur_node.val      
            if cur_node.right:
                p_node = cur_node.right     
        return True

删除

二叉查找树中的删除节点操作，详见链接

需要分为3种情况进行讨论

没有孩子的节点 ➜ 直接将它删除即可，它的父节点的孩子替换成空
只有一个孩子的节点 ➜ 直接上升孩子的位子替代被删除的即可
有两个孩子的节点 ➜ 此种情况比较麻烦，需要参看详细链接

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