这个取余运算的确在数学上是没有负数，这个的确没有问题。毕竟搞计算机的很多数学水平一般，这也很正常。

读计算机科学里面一些分支的博士，就会发现基本没有本科学计算机的了， 尤其是密码学、数值分析这些。

编程语言提供的基本数学运算是方便开发者编写程序的，而不是用来进行数学研究的。要想做后者，应当使用专门的软件（比如 Scilab ）

非得要求编程语言中的概念在数学上“正确”，无异于耍流氓

----

题外话，有“数学洁癖”的人最常吐槽的是众多编程语言的“变量”，完全跟数学上的“变量”是不同的东西

不过在这一点上 C 语言并没有中枪，因为 C 语言并没有“变量”这一概念（翻一翻标准手册，会发现 variable 这个词唯一出现在的地方是 VLA ）

这些语言的行为在它们自己的体系里是自洽的——比如 C 的浮点数转整数会直接把浮点部分切掉，而 C 的除法，商也是把浮点部分切掉，然后根据此算出余数。如果用传统香烟，啊不传统余数，那同时算出的商和余数会不满足 商*除数+余数=被除数 这一基本原则，这个问题显然更严重。
注意这个行为是 C99 之后才有的，之前没有定义，不过 C99 之前标准库里定义了 div() 函数，可以同时算出商和余数，是一直遵循这个行为的。主流实现比如 x86 的 idiv 指令应该一直都是这样。

C 标准库对浮点数还定义了 fmod() 和 remainder() 两个函数，两个采取了不同的定义，remainder() 函数对应的是 IEEE 754 标准定义的 remainder 操作。fmod() 函数我没有在标准里找到对应。

Python 虽然浮点强转整数也是切，但是貌似实际用得不多，默认的 / 不能整除时直接给浮点，// 和 % 也是一致的。

至于拿计算机语言强行追求贴合数学定义我觉得大可不必，光浮点数就很头疼。等下个 IEEE 754 标准更新之后，可能会有很多符合该标准的实现，但是可能大多数人不会用。

作者说只有 python 是对的，其他语言是错的，从数学的角度我并不反对。

但是作者说其他编程语言是因为 C 语言这么做，所以才跟着这么做的。我感觉作者有点太不看不起其他编程语言了吧，那其他语言和 C 语言不一致情况怎么解释，其他语言这会又不怕了吗？这就是明显的拉踩行为啊。

我记得这个问题我很久之前折腾过，不过具体怎样忘了（当时也没搞 Numerics ），我翻了一下记录，有这么一篇论文：
dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/128861.128862 The Euclidean Definition of the Functions div and mod
刚才搜到了这个
github.com/WebAssembly/design/issues/250 Semantics of signed integer divide and remainder · Issue #250 · WebAssembly/design · GitHub
根据这个 thread ，最早用 truncating division 的是 Fortran ，原因是早期机器上多不使用 2's complement 表示，truncating division 更好实现，C 出于和 Fortran 兼容的考虑，最后也用了 truncating division 。但是现在的 2's complement 表示上，Euclidean division 可能更好实现（见上面论文，另外两个都引用了 Guy Steele 的 Arithmetic Shifting Considered Harmful ，不过这个我还没看）。但是 truncating division 作为前 2's complement 时代的习惯保留下来了。

所以可能还真不是 C 带的头。至于是不是真的 Fortran 先干的我也不确定（ Fortran 66 标准里面我没找到，77 里面倒是有，不过那时候已经有原始的 C 了），但是考古只考到 C 大概是不合格的，就算暴论也没上面那个 thread 有活。
另外上面的“好实现”指得是用 ASR 操作来模拟，硬件除法器有自己的算法，我还没看过。

C 语言规定 a / b 的值 q 是 a 除以 b 向零取整，而 a % b 是满足 a = qb + r （带余除法恒等式）惟一的 r 。
数论中常见的定义是 0 <= r < |b|，此时 q 的数值并不是 a 除以 b 向零取整，而是向下取整，比如

C 语言：
-1 = 0*3 + (-1)
1 = 0*(-3) + 1

数论：
-1 = (-1)*3 + 2
1 = (-1)*(-3) + 2

带余除法恒等式相当重要且自然，如果丧失它则扩展欧几里得算法 [给定 a, b 计算 x, y 使 ax+by=(a,b)] 会很难写对。以下三者不可兼得：

1. 带余除法恒等式
2. 对一切 a 不是 int 最小值且 b 不是 0 ，成立 -(a / b) == (-a) / b 且 -a / b == 0 - a / b ，即“向零取整”
3. a % b 永远是非负数

值得注意的是 Python 也没有完全采用数论中常见的定义，因为 Python 里 a % b 的符号是 0 或者和 b 相同（整数的情况），而不是永远非负。

C 和 Python 都不是“常见数论教材”纯粹的。数学上对余数的选择没有某种必然的对错，通常选 (-b, b) 里的任何数都不会导致常见的算法（如欧几里得算法）无法继续。

C 语言选择向零取整、保持带余除法恒等式，虽然 a % b 可能有负数，但是保证了

-a/b
(-a)/b
(0-a)/b

-(a/b)
0-(a/b)
0-a/b

的计算结果都相同（假设 a 不是 int 最小值且 b 不是 0 ）。而在 Python 里面，对于整数 a,b ，表达式

-a//b
(-a)//b
(0-a)//b

和

-(a//b)
0-(a//b)
0-a//b

的两组结果分别相同，但组间可以不同，不同当且仅当 a/b 是负非整数。

应该只是定义不同，无关对错，哪里来的 python 精神可敬。。以下是 Lean 中求余的表达，官方也解释早期用 truncation-rounding 定义，后来用的 euclidean 定义。表达数学能力有差别，所以才改。

这篇文章解释了几种定义下的除法和求余
https://dl.acm.org/doi/pdf/10.1145/128861.128862

```lean4
-- default (guess using emod as default)
#eval (-1: Int) % (3: Int) -- 2
#eval (1: Int) % (-3: Int) -- 1

-- using emod (euclidean division)
#eval (-1: Int).emod (3 : Int) -- 2
#eval (1: Int).emod (-3 : Int) -- 1

-- using tmod (truncating division)
#eval (-1 : Int).tmod (3 : Int) -- -1
#eval (-1 : Int).tmod (-3 : Int) -- -1
```

欧几里得除法是什么玩意儿，你是想说辗转相除法么？这只是一个算法而已，不是什么取模的定义。

事实上你在正经的数学文献里几乎不会看到取模运算这种东西，只有同余恒等式，没有取模运算。这跟编程里的概念是不一样的。

什么是同余恒等式？ 7 ≡ 17 （ mod 10 ），这才是数学的东西。

一个是整除后，跟整除结果的距离。这里还有整除定义的问题，是除法结果的整数部分，还是除法结果向较小方向取整
一个是分段区间跟较小端的距离 # 这个才叫“余下”，其实在负数情况下，人类语义基本就没有“余下”概念了，而是叫“尚缺”，就是和分段区间较大端的距离
数学是脱离文字语言，对数字计算的归一处理，即使负数，也按相同的准则定义和计算。其中欧氏除法统一和较小端比较，或者说整除是除法结果取不大于该结果的最大整数

编程是定义整除为“除法结果的整数部分”，取模为“跟整除结果倍数的距离”，其中余数符号的意义是方向
它未必要向人类语义看齐，例如计数器下标从 0 开始，是不吻合人类理解的，就像公元一世纪，就是 01-100 年，没有公元零年或公元零世纪，想当年 1999~2000 跨年夜，一堆人庆祝“进入新世纪”就很好笑

所以，计算机求“余”的计算，要按实际需求重写算法，而不是单纯用某个表达式替代